Przecięcie dwóch prostych.

[Milczek]

Dla jakich wartości \(\displaystyle{ m}\) proste \(\displaystyle{ y=mx+2 \wedge x+my -1=0}\) przecinają się w punkcie należącym do prostokąta o wierzchołkach \(\displaystyle{ A(-2,1),B(-2,-1),C(1,-1),D(1,1)}\).
Proszę o ile się da nakierować mnie na jak najkrótsze, elementarne rozwiązanie tego zadania(najlepiej bez wyznaczników).

Wiem iż na pewno \(\displaystyle{ x \in \left\langle -2,1\right\rangle \wedge y \in \left\langle -1,1\right\rangle}\)

[piasek101]

Rozwiązujesz układ równań - dostajesz x i y zależne od (m) , dalej działasz z tym co napisałeś.

[a4karo]

Te proste są prostopadłe, pierwsza z nich przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (0,2)}\) a druga przez \(\displaystyle{ (1,0)}\).

Na jakiej krzywej zatem leży ich punkt przecięcia?

[Milczek]

piasek101, Właśnie tak to rozwiązałem.
a4karo, Myślę , zaraz odpiszę jak coś wymyślę.

[a4karo]

Dla ułatwienia przeformułuję pytanie: jak wygląda zbiór punktów, z których widać odcinek pod kątem prostym?

[Milczek]

Dobra , kiepsko sobie z tym radzę..

[kerajs]

Układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -mx+y=2 \\ x+my=1 \end{cases}}\)
ma rozwiązanie (niezależnie od tego jakiej metody się użyje):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{2m-1}{-m^2-1} \\ y= \frac{-m-2}{-m^2-1} \end{cases}}\)

które musi spełniać warunki (co wynika np. z rysunku obszaru):
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2 \le x \le 1 \\ -1 \le y \le 1 \end{cases}}\)

Wstawiasz i masz zwykłe nierówności z parametrem
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2 \le \frac{2m-1}{-m^2-1} \le 1 \\ -1 \le\frac{-m-2}{-m^2-1} \le 1 \end{cases}
\\ \ \\ \\
\begin{cases} -2 \le \frac{2m-1}{-m^2-1} \\ \frac{2m-1}{-m^2-1} \le 1 \\ -1 \le\frac{-m-2}{-m^2-1} \\ \frac{-m-2}{-m^2-1} \le 1 \end{cases}}\)

[a4karo]

Dobra , kiepsko sobie z tym radzę..

Tym zbiorem jest okrąg, którego średnica jest ten odchudzanie. Teraz narysuj...