Współrzędne trójkąta, środkowa

[Milczek]

Środkowa trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) poprowadzona z wierzchołka \(\displaystyle{ c}\) jest zawarta w prostej \(\displaystyle{ 7x+y=6}\), a wysokośćtego trójkąta poprowadzona z wierzchołka \(\displaystyle{ B}\), - w prostej \(\displaystyle{ x+3y=8}\). Oblicz współrzędne punktów \(\displaystyle{ B,C}\) gdy \(\displaystyle{ A(-3,-3)}\).

Z obliczeniem współrzędnych wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) nie było problemów. Znając prostą zawierającą wysokość opuszczoną na \(\displaystyle{ |AC|}\) z łatwością wyznaczamy jego współrzędne(przecięcie prostej zawierającej środkową i prostej zawierającej bok \(\displaystyle{ |AC|}\).

Natomiast nie mam pojęcia jak dość to współrzędnych punktu \(\displaystyle{ B}\). Mam tylko prostą zawierającą wysokość opuszczoną na \(\displaystyle{ |AC|}\) czyli zawierającą również punkt \(\displaystyle{ B}\), tylko nie widzę jeszcze żadnej innej prostej która mogła by pomóc wyznaczyć współrzędne tego punktu.

Mógłbym poprosić o jakąś wskazówkę ?

[Ania221]

Punkt \(\displaystyle{ S}\) przecięcia środkowej z bokiem \(\displaystyle{ AB}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ AB}\)
Wsp punktu \(\displaystyle{ B(x_B, - \frac{1}{3}x_B+ \frac{8}{3} )}\)

\(\displaystyle{ S=( \frac{-3+x_B}{2}; \frac{-3- \frac{1}{3}x_B+\frac{8}{3}}{2})}\) \(\displaystyle{ \in y=7x+6}\)

[Milczek]

Rozumiem, obliczasz współrzędne pkt.\(\displaystyle{ S}\) potem przesuwasz ten pkt o wektor \(\displaystyle{ \vec{|AS|}}\)?

[Ania221]

Nie, wyliczam \(\displaystyle{ x_B}\) tak jak jest wstawione, i potem z równania prostej, \(\displaystyle{ y_B}\)
W punkcie\(\displaystyle{ S}\) są przecież wykorzystane współrzędne punktu \(\displaystyle{ B(x_B, - \frac{1}{3}x_B+ \frac{8}{3} )}\) i punktu \(\displaystyle{ A (-3;-3)}\)

\(\displaystyle{ y=7x+6}\)

\(\displaystyle{ S=( \frac{-3+x_B}{2}; \frac{-3- \frac{1}{3}x_B+\frac{8}{3}}{2})}\)

\(\displaystyle{ \frac{-3- \frac{1}{3}x_B+\frac{8}{3}}{2}=7(\frac{-3+x_B}{2})+6}\)