Trójkąt równoboczny i parabola

Milczek · Post autor: **Milczek** » 14 lut 2016, o 02:07

Mamy parabolę \(\displaystyle{ y=-x^2}\) i jeden z boków trójkąta równobocznego jest równoległy do \(\displaystyle{ OX}\). Współrzędne wierzchołków tego trójkąta należą do tej paraboli.
Jak wykazać że jednym z wierzchołków trójkąta jest wierzchołek paraboli?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 14 lut 2016, o 02:17

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=AGA_1HsP_C0

Przepraszam.

Współrzędne wierzchołków trójkąta to jakieś tam \(\displaystyle{ (x_{1}, -x_{1}^{2}), (x_{2}, -x_{2}^{2}), (x_{3}, -x_{3}^{2})}\), no bo leżą one na tej paraboli. Ponadto skoro jeden z boków trójkąta jest równoległy do \(\displaystyle{ OX}\), to musi być \(\displaystyle{ x_{1}^{2}=x_{2}^{2}}\) lub \(\displaystyle{ x_{1}^{2}=x_{3}^{2}}\) lub \(\displaystyle{ x_{2}^{2}=x_{3}^{2}}\). Oczywiście trójkąt nie ma się degenerować do prostej, więc stąd np. \(\displaystyle{ x_{2}=-x_{1}}\). Czyli współrzędne dwóch z punktów będących wierzchołkami trójkąta możemy zapisać jako \(\displaystyle{ (x_{1}, -x_{1}^{2})}\) oraz \(\displaystyle{ (-x_{1}, -x_{1}^{2})}\). Zauważmy, że zbiór punktów równo oddalonych od tych dwóch przeszczepów to prosta przechodząca przez wierzchołek paraboli (dowód chyba starczy rysunkowy ). A ta prosta przecina parabolę właśnie w tym jednym punkcie - w rzeczonym wierzchołku.-- 14 lut 2016, o 02:30 --A jak nie starczy dowód rysunkowy tamtego trywialnego fakciku: napiszmy równanie symetralnej odcinka o końcach w \(\displaystyle{ (-x_{1}, -x_{1}^{2})}\) i \(\displaystyle{ (x_{1}, -x_{1}^{2})}\).

Milczek · Post autor: **Milczek** » 14 lut 2016, o 02:40

Fajne , przy czym to się odnosi nie tylko do trójkątów równobocznych.
Dzięki wielkie.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 14 lut 2016, o 07:18

No to dołóż sobie do tego pytanie: ile jest takich trójkątów?

Milczek · Post autor: **Milczek** » 14 lut 2016, o 09:02

Nie rozumiem pytania do końca chyba, równomiernnych nieskończenie wiele, równobocznych - jeden.-- 14 lut 2016, o 10:49 --A już rozumiem Pisząc rownobocznych miałem na myśli ogolnie nie tylko ten jeden przyklad zadania. A w poszczególnych przypadkach taki trójkąt jest tylko jeden.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 14 lut 2016, o 12:31

O ten jeden mi chodziło. Chciałem żebyś zauważył, za że kat przy wierzchołku się zmniejsza gdy podstawa się oddala.