Równianie prostej prostopadłej w punkcie na płaszczyźnie

[goldengamer]

Nie jestem pewna, a jutro egzamin..
Treść zadania brzmi:

Sprawdź, że prosta
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x = -3t \\ y = 1 + t \\ z = -1 + t \end{cases}}\)
leży na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi :x-2y+5z+7=0}\). Znaleźć równanie parametryczne prostej leżącej na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi}\) i prostopadłej do prostej l w punkcie \(\displaystyle{ (0,1,-1)}\).

Zrobiłam tak:

podstawiłam \(\displaystyle{ x,y,z}\) z prostej \(\displaystyle{ l}\) do równania płaszczyzny,
czyli wyszło \(\displaystyle{ -3t-2-t-5+t=0}\) czyli wyszło mi że dla \(\displaystyle{ t=7}\) prosta i płaszczyzna mają punkt wspólny (nie wiem czy w ten sposób w ogole można to zrobić)
dalej przemnożyłam wektorowo wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ [1,-2,5]}\) z wektorem prostej \(\displaystyle{ l}\) \(\displaystyle{ [-3,1,1]}\) co powinno dać wektor prostopadły do tych dwóch i wyszedł \(\displaystyle{ [-7,-16,-5]}\)
i na końcu podstawiłam ten punkt \(\displaystyle{ (0,1,-1)}\) i ten otrzymany wektor do wzoru prostej parametrycznej.

Wszyło mi tak:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-7t \\ y=1-16t \\ z=-1-5t \end{cases}}\)

Bardzo proszę o weryfikację i pomoc bo pewnie zrobiłam źle

[Kartezjusz]

Wstawiasz całe wyrażenia w nawiasie.

[goldengamer]

Kartezjusz, Nie rozumiem, co masz na myśli?

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ x=-3t}\)
\(\displaystyle{ -2y=-2(1+t)=-2-2t}\)a wstawiłaś jedno.

[fenomenalnie]

Ładniej było by sprawdzić, czy prosta \(\displaystyle{ l}\) jest równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\), a następnie sprawdzić szczególny przypadek, czyli czy prosta leży na płaszczyźnie

\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x = -3t \\ y = 1 + t \\ z = -1 + t \end{cases}, t \in \RR}\)

\(\displaystyle{ \pi: \ x-2y+5z+7=0.}\)

\(\displaystyle{ (?) \ l \parallel \pi}\)

\(\displaystyle{ l \ni \vec{v_{1} }=[-3,1,1]}\)
\(\displaystyle{ \pi \perp \vec{n_{1}}=[1,-2,5]}\)

\(\displaystyle{ \vec{v_{1} } \circ \ \vec{n_{1}} =-3-2+5=0 \Rightarrow \vec{v_{1} } \perp \ \vec{n_{1}} \Rightarrow l \parallel \ \pi}\)

Skoro tak, to wystarczy jeszcze sprawdzić, szczególny przypadek, czyli czy prosta leży na płaszczyźnie. Aby to zrobić podstawiamy punkt \(\displaystyle{ A}\) z równania parametrycznego prostej \(\displaystyle{ l}\) do równania płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\)

\(\displaystyle{ l \ni A(0,1,-1)}\)
\(\displaystyle{ \pi : x-2y+5z+7=0}\)

\(\displaystyle{ 1(0)-2(1)+5(-1)+7=0 \Rightarrow 0=0}\)
Czyli prosta leży na płaszczyźnie.

Aby znaleźć prostą leżącą na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi}\) oraz prostopadłą do prostej \(\displaystyle{ l}\) w punkcie \(\displaystyle{ P(0,1,-1)}\), trzeba tak jak już zauważyłaś, policzyć iloczyn wektorowy wektora normalnego płaszczyzny \(\displaystyle{ \vec{n}}\) oraz wektora kierunkowego prostej \(\displaystyle{ \vec{v_{1} }}\) , a następnie jak zawsze, czyli po prostu utworzyć równanie parametryczne prostej \(\displaystyle{ k}\) z powstałego wektora \(\displaystyle{ \vec{v_{2}}}\) oraz podstawiając punkt \(\displaystyle{ P}\)

\(\displaystyle{ \vec{v_{1} }=[-3,1,1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{n_{1}}=[1,-2,5]}\)

\(\displaystyle{ \vec{v_{1} } \times \ \vec{n_{1}} = [-7,-16,-5] = \vec{v_{2} }}\)

\(\displaystyle{ \vec{v_{2} } \in k}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \vec{v_{2} } \parallel \vec{v_{1}} \\ \vec{v_{2} } \parallel \vec{n_{1}} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k \parallel l \\ k \perp \pi \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ k, l, \pi \ni P(0,1,-1)}\)

\(\displaystyle{ k: \begin{cases} x=0-7s \\ y=1-16s \\ z=-1-5s \end{cases}, s \in \RR}\)
Warto pamiętać o zmianie oznaczenia zmiennej w postaci parametrycznej, oraz że należy ona do \(\displaystyle{ \RR}\).
Chyba tak powinno być, ale gwarancji nie daję, czyli ktoś to musi potwierdzić (dopiero się uczę xD)