Oblicz objętość sześcianu po obróbce

[kinia7]

.

Wszystkie krawędzie sześcianu o boku 40 poddano frezowaniu frezem o średnicy 12

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/3N72/

[Chromosom]

Niech bok sześcianu to \(\displaystyle{ 40=a}\), promień to \(\displaystyle{ \frac{12}{2}=R}\). Rozważmy tę bryłę w układzie trójwymiarowym zmiennych \(\displaystyle{ x,y,z}\), może ona być podzielona na mniejsze fragmenty płaszczyznami \(\displaystyle{ x=R,\ x=a-R}\) i podobnie dla pozostałych zmiennych. Całkowita objętość to \(\displaystyle{ a^3-12V_1-8V_2}\) gdzie \(\displaystyle{ V_1}\) to objętość \(\displaystyle{ \tfrac14}\) walca o wysokości \(\displaystyle{ a-2R}\) oraz promieniu \(\displaystyle{ R}\), natomiast \(\displaystyle{ V_2}\) to objętość bryły ograniczonej następującymi równaniami

\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2+y^2=R^2\\ y^2+z^2=R^2& x \ge 0,\ y \ge 0,\ z \ge 0\\ x^2+z^2=R^2\end{cases}}\)

Oznacza to, że trzeba obliczyć całkę podwójną z \(\displaystyle{ \min\left(R^2-x^2,\ R^2-y^2\right)}\) w obszarze \(\displaystyle{ x^2+y^2=R^2}\). Taką całkę można zastąpić dwukrotnością całki z \(\displaystyle{ R^2-y^2}\) z dodatkowym ograniczeniem \(\displaystyle{ x \ge y}\), proponuję zamianę na współrzędne biegunowe. Myślę że jest łatwiejszy i szybszy sposób.

[Kartezjusz]

Frez był okrągły czy kwadratowy?

[kruszewski]

A są takie?
W.Kr.

[Kartezjusz]

To determinuje kształt wgłębień.

[kinia7]

Taką całkę można zastąpić dwukrotnością całki z \(\displaystyle{ R^2-y^2}\) z dodatkowym ograniczeniem \(\displaystyle{ x \ge y}\), proponuję zamianę na współrzędne biegunowe. Myślę że jest łatwiejszy i szybszy sposób.

jak będzie wyglądać ta całka, jakie granice całkowania?

[kruszewski]

To determinuje kształt wgłębień.

Ja pytałem: czy są frezy okrągłe, kwadratowe?
W.Kr.

[Kartezjusz]

Nie wiem. Wiem, że mogą odkrawać różnie.

[kruszewski]

Żaden frezer tak nie powie.
W.Kr.-- 11 lut 2016, o 02:26 --Proszę zauważyć, że frezując krawędzie tak jak na rysunku przerabiamy na wióra objętość równą sumie objętości walców o średnicy freza i długościach równych wysokości sześcianu i dwu walców o długości jego krawędzi pomniejszonej o średnicę freza.
W.Kr.

[kinia7]

Taką całkę można zastąpić dwukrotnością całki z \(\displaystyle{ R^2-y^2}\) z dodatkowym ograniczeniem \(\displaystyle{ x \ge y}\), proponuję zamianę na współrzędne biegunowe. Myślę że jest łatwiejszy i szybszy sposób.

jak będzie wyglądać ta całka, jakie granice całkowania?

[SlotaWoj]

Bryła \(\displaystyle{ V_2}\) zdefiniowana przez Chromosoma jest bryła wypukłą, a to co trzeba odjąć 8 razy bryłą wypukłą nie jest. Trzeba narożniki załatwić inaczej.

[kinia7]

Trzeba narożniki załatwić inaczej.

Czy ktoś wie jak?

[SlotaWoj]

Ja bym odjął \(\displaystyle{ 8 \times}\) sześcian o boku \(\displaystyle{ R}\) i dodał \(\displaystyle{ 32 \times}\) „takie cóś” ograniczone trzema płaszczyznami i pobocznicą walca.
Rozrysuj sobie zakończenie tego zagłębienia ćwierćwalcowego i podziel na pół – to będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{32}}\) tego, co trzeba dodać.

[kinia7]

Ale z tego wynika, że w każdym rogu trzeba dodać cztery "takie cóś". Jak to pogodzić z tym, że w rogu schodzą się tylko trzy krawędzie (trzy walce)?
Poza tym w ogóle nie mogę sobie tego wyobrazić. Napisz jaką całkę i w jakich granicach mam liczyć.

[SlotaWoj]

Masz rację. Powinienem napisać \(\displaystyle{ 48 \times}\). Powyżej nie poprawiam.-- 18 lut 2016, o 03:17 --To „cóś” wygląda tak:



i jest częścią wspólną następujących fragmentów przestrzeni:

• \(\displaystyle{ \newrgbcolor{dg}{0 0.5 0}{\red{(x-R)^2+(y-R)^2\ge R^2}} \\
  {\blue{-x+y\ge 0}} \\
  {\dg{x-z\ge 0}} \\
  {\black{z\ge 0}}}\)