Oblicz objętość sześcianu po obróbce

kinia7 · Post autor: **kinia7** » 18 lut 2016, o 10:57

Nadal nie bardzo wiem jak skonstruować całkę do wyliczenia "tego cóś". Pomoże ktoś?-- 19 lut 2016, o 16:50 --Pomoże ktoś?

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 21 lut 2016, o 01:04

Objętość tej bryły jest następująca:

\(\displaystyle{ \int_0^{\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)R}\int_z^{\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)R}\sqrt{2Rx-x^2}+R-x\;dx\,dz}\)

Niestety, całka ta do przyjemnych nie należy, tym bardziej, że trzeba całkować dwa razy.

kinia7 · Post autor: **kinia7** » 25 lut 2016, o 18:03

Nie jest to dobre rozwiązanie. Może ktoś ma jakiś pomysł?

kruszewski · Post autor: **kruszewski** » 25 lut 2016, o 23:17

jak ja widzę to w każdym narożu z sześcianu o krawędzi równej połowie średnicy freza frezując każdą krawędź sześcianu "wycinamy" bryłę o objętości \(\displaystyle{ \Delat V= \frac{1}{8} V_k}\)

W.Kr.

kinia7 · Post autor: **kinia7** » 26 lut 2016, o 22:26

kruszewski pisze: "wycinamy" bryłę o objętości \(\displaystyle{ \Delat V= \frac{1}{8} V_k}\)

W.Kr.

Czy dobrze zrozumiałam, że \(\displaystyle{ V_k=R^3}\) czyli \(\displaystyle{ V=\frac18R^3}\) ?
Przecież pierwsze przejście freza, z narożnika o objętości \(\displaystyle{ R^3}\) , "wybiera" \(\displaystyle{ V=\frac{\pi}{4}R^3}\)

kruszewski · Post autor: **kruszewski** » 28 lut 2016, o 12:33

Poniżej szkic wyglądu "narożnika" po ofrezowaniu dwu krawędzi, poziomych. Dwu, bo łatwiejszy jest rysunek, ma mniej kresek. Na dole rysunku widok aksonometryczny tego, co pozostaje w narożniku po ofrezowaniu dwu krawędzi.
\(\displaystyle{ V_k}\) to sfera.

W.Kr.

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 28 lut 2016, o 13:15

Że też taki głupi błąd zrobiłem!

Byłem pewien, że moja podana wcześniej całka jest poprawna i podane przez Kinię7 wartości otrzymane od WolframAlpha są obarczone błędami we współpracy z tym serwisem (jak się nie ma konta Pro, to większe zadania trzeba dzielić na kawałki i łatwo się pomylić – ja przy trzech podejściach otrzymałem trzy różne wyniki) więc postanowiłem obliczyć tę całkę numerycznie.
I tu niespodzianka - otrzymany wynik również znacznie odbiegał od oczekiwanego.
Sześciokrotna wartość tej całki musi być znacznie mniejsza (powinna stanowić ok. \(\displaystyle{ 1/3}\) wartości) od objętości ostrosłupa o równobocznej podstawie trójkątnej o boku \(\displaystyle{ \sqrt{2}\,R}\) i wysokości \(\displaystyle{ \sqrt{2}/2\cdot\!\sqrt{9-6\sqrt{2}}\,R}\) równej \(\displaystyle{ \sqrt{2}/2\cdot\!\sqrt{3-2\sqrt{2}}\,R^3\approx0,146447\,R^3}\).
W związku z powyższym podjąłem rozwiązywanie problemu od początku i znalazłem błąd.

Objętość bryły przedstawionej przeze mnie na rysunku z 16 lutego 2016 r. wyraża się następującą całką:

\(\displaystyle{ \int_0^{\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)R}\int_z^{\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)R} R{\red{\boldsymbol{-}}}\sqrt{2Rx-x^2}-x\;dx\,dz}\)

Rożnica jest w znaku przed pierwiastkiem w funkcji podcałkowej.

Sześciokrotność obliczonej numerycznie wartości tej całki wynosi \(\displaystyle{ 0,0580191\,R^3}\)

kinia7 · Post autor: **kinia7** » 28 lut 2016, o 14:56

kruszewski pisze: \(\displaystyle{ V_k}\) to sfera.
W.Kr.

W takim razie \(\displaystyle{ V=\frac{1}{8}\cdot\frac{4\pi}{3}R^3=\frac{\pi}{6}R^3<\frac{\pi}{4}R^3}\)

kruszewski · Post autor: **kruszewski** » 28 lut 2016, o 19:38

Szkic ilustrujący wyfrezowanie rowków w krawędziach. Nie we wszystkich by nie zaciemniać obrazka.

W.Kr.