Srodek odcinka, równoległobok

Milczek · Post autor: **Milczek** » 7 lut 2016, o 00:46

Mamy punkt \(\displaystyle{ O(2,1)}\) który jest środkiem przekątnej \(\displaystyle{ AC}\) równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{AC}=[2,6]}\). Czy poprawną metodą będzie narysowanie układu współrzędnych oraz naniesienie na układ "mechanicznie" owego wektora tak aby spełniał podane warunki z zadania?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 7 lut 2016, o 01:04

Nie podałeś polecenia w zadaniu.

Dowód rysunkowy niekoniecznie jest dobrze widziany (choć dobry rysunek może Ci pomóc w rozwiązaniu zadania).

JK

Milczek · Post autor: **Milczek** » 7 lut 2016, o 01:14

Nie podałem całego faktycznie, nie pomyślałem że może to być istotne.
Trzeba wykonać następujące czynności :
Wyznacz współrzędne środków pozostałych boków równoległoboku gdy punkt \(\displaystyle{ S_{1}(0,\frac{5}{2})}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AD}\) oraz miarę kąta \(\displaystyle{ AOB}\) i pole równoległoboku.

Na rysunku oznaczyłem ten wektor wspomniany w pierwszym poście. Zalazłem pozostałe punkty tłumacząc sobie że punkt \(\displaystyle{ D}\) jest symetrycznie położony względem punktu \(\displaystyle{ S}\) oraz punkt \(\displaystyle{ B}\) jest symetrycznie położony względem punktu \(\displaystyle{ O}\) bowiem przekątne w równoległoboku dzielą się na pół. I tak na rysunku swoim znalazłem wszystkie punktu. O ile współrzędne środków odcinków znalazłem obliczając je to współrzędne wierzchołków równoległoboku znalazłem "mechanicznie" korzystając z rysunku i uzasadniając co z czego. Zastanawiam się czy taka rysunkowa metoda jest poprawna.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 7 lut 2016, o 01:53

Milczek pisze:Na rysunku oznaczyłem ten wektor wspomniany w pierwszym poście. Zalazłem pozostałe punkty tłumacząc sobie że punkt \(\displaystyle{ D}\) jest symetrycznie położony względem punktu \(\displaystyle{ S}\) oraz punkt \(\displaystyle{ B}\) jest symetrycznie położony względem punktu \(\displaystyle{ O}\) bowiem przekątne w równoległoboku dzielą się na pół.

To jest dla mnie dość niejasne

Milczek pisze:I tak na rysunku swoim znalazłem wszystkie punktu. O ile współrzędne środków odcinków znalazłem obliczając je to współrzędne wierzchołków równoległoboku znalazłem "mechanicznie" korzystając z rysunku i uzasadniając co z czego. Zastanawiam się czy taka rysunkowa metoda jest poprawna.

Mnie to jakoś bardzo nie boli, ale na maturze to może nie być dobrze widziane, możesz też dostać takie zadanie, w którym "mechanicznie" nie da się z rysunku odczytać wyniku. dlatego jednak lepiej umieć to policzyć, tym bardziej, że nie jest to trudne.

Punkt \(\displaystyle{ O}\) wraz z wektorem \(\displaystyle{ \vec{AC}}\) pozwalają Ci od razu wyznaczyć wierzchołki \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\), bo \(\displaystyle{ \vec{AO}=\vec{OC}=\frac12\vec{AC}}\). Jak masz wierzchołek \(\displaystyle{ A}\), to ponieważ \(\displaystyle{ \vec{AD}=2\vec{AS_1}}\) więc masz od razu punkt \(\displaystyle{ D}\). Teraz np. \(\displaystyle{ \vec{DO}=\vec{OB}}\) (lub \(\displaystyle{ \vec{AB}=\vec{DC}}\)) - stąd wyznaczasz wierzchołek \(\displaystyle{ B}\). Jak masz wierzchołki, to prosto liczysz środki boków. Miara kąta np. z iloczynu skalarnego poprzez cosinus.

JK

Milczek · Post autor: **Milczek** » 7 lut 2016, o 02:12

Jan Kraszewski pisze:
Milczek pisze:Na rysunku oznaczyłem ten wektor wspomniany w pierwszym poście. Zalazłem pozostałe punkty tłumacząc sobie że punkt \(\displaystyle{ D}\) jest symetrycznie położony względem punktu \(\displaystyle{ S}\) oraz punkt \(\displaystyle{ B}\) jest symetrycznie położony względem punktu \(\displaystyle{ O}\) bowiem przekątne w równoległoboku dzielą się na pół.
To jest dla mnie dość niejasne

Ponieważ przekątna \(\displaystyle{ AC}\) dzieli nam równoległobok na dwa trójkąty przystające, to aby znaleźć wierzchołek \(\displaystyle{ B}\) to musimy znaleźć punkt symetryczny do \(\displaystyle{ D}\) względem środka przecięcia przekątnych. Punkt \(\displaystyle{ B}\) zawiera się na prostej zawierającej odcinek \(\displaystyle{ DO}\) inaczej mówiąc. To miałem na myśli. Teraz może troszkę bardziej przejrzyście napisałem o co mi chodziło.

Ale patrząc na poniższy fragment można się zastanawiać nad sensem takiego kombinowania.

Punkt \(\displaystyle{ O}\) wraz z wektorem \(\displaystyle{ \vec{AC}}\) pozwalają Ci od razu wyznaczyć wierzchołki \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\), bo \(\displaystyle{ \vec{AO}=\vec{OC}=\frac12\vec{AC}}\). Jak masz wierzchołek \(\displaystyle{ A}\), to ponieważ \(\displaystyle{ \vec{AD}=2\vec{AS_1}}\) więc masz od razu punkt \(\displaystyle{ D}\). Teraz np. \(\displaystyle{ \vec{DO}=\vec{OB}}\) (lub \(\displaystyle{ \vec{AB}=\vec{DC}}\)) - stąd wyznaczasz wierzchołek \(\displaystyle{ B}\). Jak masz wierzchołki, to prosto liczysz środki boków. Miara kąta np. z iloczynu skalarnego poprzez cosinus.

JK

Rachunek na wektorach faktycznie jest przejrzysty i faktycznie prosty.
Dziękuję za pomoc.