Witam.
Proszę o pomoc w zrobieniu zadania, za które nie mam pojęcia jak się zabrać. Póki co przekształciłem tylko równanie prostej na postać parametryczną.
Wyznaczyć równanie powierzchni utworzonej przez obrót prostej
\(\displaystyle{ \frac{x-2}{ \sqrt{3} } = y- \sqrt{3} -2 = z-2 \sqrt{3}}\) wokół osi OY.
Czy prosta \(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-6y+3z+8=0 \\ x+2y-z-6=0 \end{cases}}\) jest tworzącą otrzymanej powierzchni?
Z góry dziękuję i pozdrawiam!
Obrót prostej wokół osi oraz tworząca powierzchni
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Obrót prostej wokół osi oraz tworząca powierzchni
Rozwiązanie na ,,chłopski rozumek':
Ponieważ kręcimy prostą wokół OY to to każdy punkt prostej zatacza okrąg o promieniu równym odległości tego punktu od prostej OY. Czyli punkt prostej \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) zatacza okrąg o promieniu równym odległości tego punktu od\(\displaystyle{ (0,y,0)}\). Czyli punkt prostej \(\displaystyle{ (\sqrt{3}y-3-2 \sqrt{3},y,y+ \sqrt{3} +2)}\) zatacza okrąg o promieniu równym jego odległości od\(\displaystyle{ ( 0 ,y,0)}\).
Stąd równanie szukanej powierzchni:
\(\displaystyle{ x^2+z^2=\left( \sqrt{(\sqrt{3}y-3-2 \sqrt{3})^2+0^2+(y+ \sqrt{3} +2)^2} \right) ^2 \\
x^2+z^2=4y^2 -16y+20 \\ \frac{x^2}{2^2} -(y-2)^2+\frac{z^2}{2^2}=1}\)
i jest to hiperboloida jednopowłokowa.
Ponieważ kręcimy prostą wokół OY to to każdy punkt prostej zatacza okrąg o promieniu równym odległości tego punktu od prostej OY. Czyli punkt prostej \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) zatacza okrąg o promieniu równym odległości tego punktu od\(\displaystyle{ (0,y,0)}\). Czyli punkt prostej \(\displaystyle{ (\sqrt{3}y-3-2 \sqrt{3},y,y+ \sqrt{3} +2)}\) zatacza okrąg o promieniu równym jego odległości od\(\displaystyle{ ( 0 ,y,0)}\).
Stąd równanie szukanej powierzchni:
\(\displaystyle{ x^2+z^2=\left( \sqrt{(\sqrt{3}y-3-2 \sqrt{3})^2+0^2+(y+ \sqrt{3} +2)^2} \right) ^2 \\
x^2+z^2=4y^2 -16y+20 \\ \frac{x^2}{2^2} -(y-2)^2+\frac{z^2}{2^2}=1}\)
i jest to hiperboloida jednopowłokowa.
Obrót prostej wokół osi oraz tworząca powierzchni
Dziękuję bardzo! Udało mi się już rozwiązać to zadanie i otrzymać taki sam wynik Trafiłem w końcu na przyzwoite wykłady z tego tematu i udało się zrozumieć. Pozdrawiam!