Mamy równanie ogólne prostej \(\displaystyle{ Ax+By+C=0 , C=-Ax_{1}-By_{1}}\). Zacząłem sie uczyć geometrii analitycznej. Wydaje się ona prosta gdyby nie to że nie mam pojęcia jak udowodnić że wektor \(\displaystyle{ u=[A.B]}\) jest prostopadły do powyższej prostej. Oraz że wektor \(\displaystyle{ y=[-B,-A]}\) jest prostopadły do wektora po lewej.
O ile w drugim przypadku jestem w stanie skorzystać z iloczynu skalarnego i cosinusa kąta między nimi.
To w pierwszym nie mam pojęcia jak się za to zabrać, czy mógłby ktoś pokierować, szkic dowodu bądź ogólny tok myślenia mi nakreślić. Proszę o pomoc
Dowód z prostopadłością
Dowód z prostopadłością
Prosta prostopadła do danej ma przykładowo współczynniki kolejno B, -A, C' (to chyba wiesz dlaczego?). Obierz sobie na niej jakieś dwa punkty, np \(\displaystyle{ C(a, \frac{aB+C'}{A}), D(b, \frac{bB+C'}{A})}\). Teraz zapisz wektor DC za pomocą tych oznaczeń. Punkty D i C wybieraliśmy dowolnie, dlatego możemy założyć, że \(\displaystyle{ a-b=A}\), wtedy dostajesz, że druga współrzędna tego wektora to B. Każdy kolejny wektor prostopadły do danej prostej jest równoległy do tego wektora.
Ja bym tak do tego podeszła
Ja bym tak do tego podeszła
-
- Użytkownik
- Posty: 821
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 84 razy
- Pomógł: 45 razy
Dowód z prostopadłością
Wlasnie , nie wiem jak to uzasadnic. W tym problem.velma pisze:Prosta prostopadła do danej ma przykładowo współczynniki kolejno B, -A, C' (to chyba wiesz dlaczego?). Obierz sobie na niej jakieś dwa punkty, np \(\displaystyle{ C(a, \frac{aB+C'}{A}), D(b, \frac{bB+C'}{A})}\). Teraz zapisz wektor DC za pomocą tych oznaczeń. Punkty D i C wybieraliśmy dowolnie, dlatego możemy założyć, że \(\displaystyle{ a-b=A}\), wtedy dostajesz, że druga współrzędna tego wektora to B. Każdy kolejny wektor prostopadły do danej prostej jest równoległy do tego wektora.
Ja bym tak do tego podeszła
-- 19 sty 2016, o 22:48 --
Czy znalazła by się dobra dusza do wytłumaczenia mi zupełnych postaw geometrii analitycznej ? Głównie problem jest skąd ta prostopadłość na podstawie tych współczynników się bierze.
-- 20 sty 2016, o 08:49 --
Udało mi się wykazać ze iloczyn współczynników kierunkowych dwóch prostych w postaci kierunkowej musi byc równy \(\displaystyle{ -1}\) ale, jak to zrobić z prostymi w postaci ogólnej?
-- 20 sty 2016, o 09:08 --
To że wektory \(\displaystyle{ \left[ A,B\right]}\) i \(\displaystyle{ -B,A}\) są prostopadle wykazalem z własności iloczynu skaparnego. Lecz jak odnieść to do współczynników prostej w postaci ogólnej, póki co zostaje pytaniem otwartym