Poel trójkąta i środkowe
Poel trójkąta i środkowe
Witam, mam zadanie z jednej z poprzednich edycji olimpiad, którego nei za bardzo potrafie rozwiązać. Miałem pomysł na wyliczenie pkt w trójkącie, a potem wyznacznik, ale jakoś nie mogę dojść.
Oblicz pole trójkąta, mając dane dwie proste \(\displaystyle{ 4x+5y+17=0}\) i \(\displaystyle{ x-3y=0}\) zawierające środkowe trójkąta, oraz jeden jego wierzchołek \(\displaystyle{ A=(-1,-6)}\).
Oblicz pole trójkąta, mając dane dwie proste \(\displaystyle{ 4x+5y+17=0}\) i \(\displaystyle{ x-3y=0}\) zawierające środkowe trójkąta, oraz jeden jego wierzchołek \(\displaystyle{ A=(-1,-6)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 20 gru 2015, o 13:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 1 raz
Poel trójkąta i środkowe
Mam drobną wskazówke mam nadzieje trafną. Odległość przecięcia środkowych do dowolnego wierzchołka jest taka sama, wyznacz punkt przecięcia tych prostych a następnie równanie okręgu o środku tego przecięcia i promieniu długości \(\displaystyle{ |SA|}\) gdzie \(\displaystyle{ S}\) punkt przecięcia.
-
- Użytkownik
- Posty: 1923
- Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 326 razy
Poel trójkąta i środkowe
Niech \(\displaystyle{ S}\) punkt przecięcia środkowych
\(\displaystyle{ D(x;- \frac{4}{5}x- \frac{17}{5})}\) środek boku \(\displaystyle{ AB}\)
wierzchołek \(\displaystyle{ B(x_B; \frac{1}{3}x_B)}\)
z wektorów
\(\displaystyle{ \vec{AD}= \vec{DB}}\)
Wyliczam współrzędne punktów \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\) a z przecięcia prostych punktu \(\displaystyle{ S}\)
Z wektorów pole \(\displaystyle{ P_{ASB}}\)
\(\displaystyle{ P_{ABC}=3P_{ASB}}\)
Mnie wyszło \(\displaystyle{ P_{ABC}=25 \frac{1}{2} j^2}\)
\(\displaystyle{ D(x;- \frac{4}{5}x- \frac{17}{5})}\) środek boku \(\displaystyle{ AB}\)
wierzchołek \(\displaystyle{ B(x_B; \frac{1}{3}x_B)}\)
z wektorów
\(\displaystyle{ \vec{AD}= \vec{DB}}\)
Wyliczam współrzędne punktów \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\) a z przecięcia prostych punktu \(\displaystyle{ S}\)
Z wektorów pole \(\displaystyle{ P_{ASB}}\)
\(\displaystyle{ P_{ABC}=3P_{ASB}}\)
Mnie wyszło \(\displaystyle{ P_{ABC}=25 \frac{1}{2} j^2}\)
Ostatnio zmieniony 19 sty 2016, o 12:56 przez Ania221, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Poel trójkąta i środkowe
Może pokombinuj tak:
1. Wyznacz równanie trzeciej środkowej (przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A}\) i przez punkt przecięcia pozostałych środkowych).
2. Punkt przecięcia środkowych dzieli je w stosunku \(\displaystyle{ \frac{2}{1}}\), a więc znajdziesz punkt przecięcia tej trzeciej środkowej z bokiem \(\displaystyle{ a}\) trójkąta, czyli jego środek.
3. Dalszego pomysłu chwilowo nie mam...
1. Wyznacz równanie trzeciej środkowej (przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A}\) i przez punkt przecięcia pozostałych środkowych).
2. Punkt przecięcia środkowych dzieli je w stosunku \(\displaystyle{ \frac{2}{1}}\), a więc znajdziesz punkt przecięcia tej trzeciej środkowej z bokiem \(\displaystyle{ a}\) trójkąta, czyli jego środek.
3. Dalszego pomysłu chwilowo nie mam...
Poel trójkąta i środkowe
Ania221 pisze:Niech \(\displaystyle{ S}\) punkt przecięcia środkowych
\(\displaystyle{ D(x;- \frac{4}{5}x- \frac{17}{5})}\) środek boku \(\displaystyle{ AB}\)
wierzchołek \(\displaystyle{ B(x_B; \frac{1}{3}x_B)}\)
z wektorów
\(\displaystyle{ \vec{AD}= \vec{DB}}\)
Wyliczam współrzędne punktów \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\) a z przecięcia prostych punktu \(\displaystyle{ S}\)
Z wektorów pole \(\displaystyle{ P_{ASB}}\)
\(\displaystyle{ P_{ABC}=3P_{ASB}}\)
Czemu pole całego równa się \(\displaystyle{ 3P_{ASB}}\) z trójkatów przystających?
-
- Użytkownik
- Posty: 1923
- Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 326 razy
Poel trójkąta i środkowe
Dalej ponownie najłatwiej to robić z wektorów, tylko że najpierw trzeba wyznaczyć równanie prostej \(\displaystyle{ AS}\), to jest ta jodyna środkowa, której nie znamy. Czyli więcej roboty.Dilectus pisze:Może pokombinuj tak:
1. Wyznacz równanie trzeciej środkowej (przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A}\) i przez punkt przecięcia pozostałych środkowych).
2. Punkt przecięcia środkowych dzieli je w stosunku \(\displaystyle{ \frac{2}{1}}\), a więc znajdziesz punkt przecięcia tej trzeciej środkowej z bokiem \(\displaystyle{ a}\) trójkąta, czyli jego środek.
3. Dalszego pomysłu chwilowo nie mam...
Kiedyś było zadanie, wyznaczyć albo boki albo pole trójkąta znając tylko jego środkowe...ale to było dość skomplikowane o ile dobrze pamiętam. A poza tym my nie znamy długości środkowych, tylko ich równania.
-- 19 sty 2016, o 14:05 --
Te trójkąty nie są przystające. Ale trójkąty \(\displaystyle{ ASB}\), \(\displaystyle{ BSC}\), \(\displaystyle{ CSA}\) mają równe pola. Ponieważ środkowe dzielą sie w stosunku \(\displaystyle{ 1:2}\), to wysokość trójkąta \(\displaystyle{ ASB}\) jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wysokości tr \(\displaystyle{ ABC}\)Kuber19 pisze:Czemu pole całego równa się \(\displaystyle{ 3P_{ASB}}\) z trójkatów przystających?Ania221 pisze:Niech \(\displaystyle{ S}\) punkt przecięcia środkowych
\(\displaystyle{ D(x;- \frac{4}{5}x- \frac{17}{5})}\) środek boku \(\displaystyle{ AB}\)
wierzchołek \(\displaystyle{ B(x_B; \frac{1}{3}x_B)}\)
z wektorów
\(\displaystyle{ \vec{AD}= \vec{DB}}\)
Wyliczam współrzędne punktów \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\) a z przecięcia prostych punktu \(\displaystyle{ S}\)
Z wektorów pole \(\displaystyle{ P_{ASB}}\)
\(\displaystyle{ P_{ABC}=3P_{ASB}}\)
Poel trójkąta i środkowe
\(\displaystyle{ P_{ABC}=3P_{ASB}}\)[/quote]
Czemu pole całego równa się \(\displaystyle{ 3P_{ASB}}\) z trójkatów przystających?[/quote]
Te trójkąty nie są przystające. Ale trójkąty \(\displaystyle{ ASB}\), \(\displaystyle{ BSC}\), \(\displaystyle{ CSA}\) mają równe pola. Ponieważ środkowe dzielą sie w stosunku \(\displaystyle{ 1:2}\), to wysokość trójkąta \(\displaystyle{ ASB}\) jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wysokości tr \(\displaystyle{ ABC}\)[/quote]
Ale te srodkowe nie padaja chyba pod katem prostym?
Czemu pole całego równa się \(\displaystyle{ 3P_{ASB}}\) z trójkatów przystających?[/quote]
Te trójkąty nie są przystające. Ale trójkąty \(\displaystyle{ ASB}\), \(\displaystyle{ BSC}\), \(\displaystyle{ CSA}\) mają równe pola. Ponieważ środkowe dzielą sie w stosunku \(\displaystyle{ 1:2}\), to wysokość trójkąta \(\displaystyle{ ASB}\) jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wysokości tr \(\displaystyle{ ABC}\)[/quote]
Ale te srodkowe nie padaja chyba pod katem prostym?
-
- Użytkownik
- Posty: 1923
- Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 326 razy
Poel trójkąta i środkowe
Narysuj trójkąt nie-równoramienny.
Narysuj środkową padającą na podstawę. Podziel ją na 3 równe części.
Opuść na podstawę wysokość z punktu "niższego".
I wysokość całego trójkąta na tę podstawę.
Jak sie mają do siebie te wysokości?
Narysuj środkową padającą na podstawę. Podziel ją na 3 równe części.
Opuść na podstawę wysokość z punktu "niższego".
I wysokość całego trójkąta na tę podstawę.
Jak sie mają do siebie te wysokości?