Poel trójkąta i środkowe

[Kuber19]

Witam, mam zadanie z jednej z poprzednich edycji olimpiad, którego nei za bardzo potrafie rozwiązać. Miałem pomysł na wyliczenie pkt w trójkącie, a potem wyznacznik, ale jakoś nie mogę dojść.
Oblicz pole trójkąta, mając dane dwie proste \(\displaystyle{ 4x+5y+17=0}\) i \(\displaystyle{ x-3y=0}\) zawierające środkowe trójkąta, oraz jeden jego wierzchołek \(\displaystyle{ A=(-1,-6)}\).

[jik2]

Mam drobną wskazówke mam nadzieje trafną. Odległość przecięcia środkowych do dowolnego wierzchołka jest taka sama, wyznacz punkt przecięcia tych prostych a następnie równanie okręgu o środku tego przecięcia i promieniu długości \(\displaystyle{ |SA|}\) gdzie \(\displaystyle{ S}\) punkt przecięcia.

[Kuber19]

Czy na pewno te odległości sa takie same?

[kropka+]

Nie są. Równe odległości są dla punktu przecięcia symetralnych (środek okręgu opisanego na trójkącie) a nie środkowych.

[Ania221]

Niech \(\displaystyle{ S}\) punkt przecięcia środkowych
\(\displaystyle{ D(x;- \frac{4}{5}x- \frac{17}{5})}\) środek boku \(\displaystyle{ AB}\)
wierzchołek \(\displaystyle{ B(x_B; \frac{1}{3}x_B)}\)

z wektorów

\(\displaystyle{ \vec{AD}= \vec{DB}}\)

Wyliczam współrzędne punktów \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\) a z przecięcia prostych punktu \(\displaystyle{ S}\)

Z wektorów pole \(\displaystyle{ P_{ASB}}\)

\(\displaystyle{ P_{ABC}=3P_{ASB}}\)

Mnie wyszło \(\displaystyle{ P_{ABC}=25 \frac{1}{2} j^2}\)

[Dilectus]

Może pokombinuj tak:

1. Wyznacz równanie trzeciej środkowej (przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A}\) i przez punkt przecięcia pozostałych środkowych).

2. Punkt przecięcia środkowych dzieli je w stosunku \(\displaystyle{ \frac{2}{1}}\), a więc znajdziesz punkt przecięcia tej trzeciej środkowej z bokiem \(\displaystyle{ a}\) trójkąta, czyli jego środek.

3. Dalszego pomysłu chwilowo nie mam...

[Kuber19]

Niech \(\displaystyle{ S}\) punkt przecięcia środkowych
\(\displaystyle{ D(x;- \frac{4}{5}x- \frac{17}{5})}\) środek boku \(\displaystyle{ AB}\)
wierzchołek \(\displaystyle{ B(x_B; \frac{1}{3}x_B)}\)

z wektorów

\(\displaystyle{ \vec{AD}= \vec{DB}}\)

Wyliczam współrzędne punktów \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\) a z przecięcia prostych punktu \(\displaystyle{ S}\)

Z wektorów pole \(\displaystyle{ P_{ASB}}\)

\(\displaystyle{ P_{ABC}=3P_{ASB}}\)

Czemu pole całego równa się \(\displaystyle{ 3P_{ASB}}\) z trójkatów przystających?

[Ania221]

Może pokombinuj tak:

1. Wyznacz równanie trzeciej środkowej (przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A}\) i przez punkt przecięcia pozostałych środkowych).

2. Punkt przecięcia środkowych dzieli je w stosunku \(\displaystyle{ \frac{2}{1}}\), a więc znajdziesz punkt przecięcia tej trzeciej środkowej z bokiem \(\displaystyle{ a}\) trójkąta, czyli jego środek.

3. Dalszego pomysłu chwilowo nie mam...

Dalej ponownie najłatwiej to robić z wektorów, tylko że najpierw trzeba wyznaczyć równanie prostej \(\displaystyle{ AS}\), to jest ta jodyna środkowa, której nie znamy. Czyli więcej roboty.

Kiedyś było zadanie, wyznaczyć albo boki albo pole trójkąta znając tylko jego środkowe...ale to było dość skomplikowane o ile dobrze pamiętam. A poza tym my nie znamy długości środkowych, tylko ich równania.

-- 19 sty 2016, o 14:05 --

Niech \(\displaystyle{ S}\) punkt przecięcia środkowych
\(\displaystyle{ D(x;- \frac{4}{5}x- \frac{17}{5})}\) środek boku \(\displaystyle{ AB}\)
wierzchołek \(\displaystyle{ B(x_B; \frac{1}{3}x_B)}\)

z wektorów

\(\displaystyle{ \vec{AD}= \vec{DB}}\)

Wyliczam współrzędne punktów \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\) a z przecięcia prostych punktu \(\displaystyle{ S}\)

Z wektorów pole \(\displaystyle{ P_{ASB}}\)

\(\displaystyle{ P_{ABC}=3P_{ASB}}\)

Czemu pole całego równa się \(\displaystyle{ 3P_{ASB}}\) z trójkatów przystających?

Te trójkąty nie są przystające. Ale trójkąty \(\displaystyle{ ASB}\), \(\displaystyle{ BSC}\), \(\displaystyle{ CSA}\) mają równe pola. Ponieważ środkowe dzielą sie w stosunku \(\displaystyle{ 1:2}\), to wysokość trójkąta \(\displaystyle{ ASB}\) jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wysokości tr \(\displaystyle{ ABC}\)

[Kuber19]

\(\displaystyle{ P_{ABC}=3P_{ASB}}\)[/quote]
Czemu pole całego równa się \(\displaystyle{ 3P_{ASB}}\) z trójkatów przystających?[/quote]
Te trójkąty nie są przystające. Ale trójkąty \(\displaystyle{ ASB}\), \(\displaystyle{ BSC}\), \(\displaystyle{ CSA}\) mają równe pola. Ponieważ środkowe dzielą sie w stosunku \(\displaystyle{ 1:2}\), to wysokość trójkąta \(\displaystyle{ ASB}\) jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wysokości tr \(\displaystyle{ ABC}\)[/quote]
Ale te srodkowe nie padaja chyba pod katem prostym?

[Ania221]

Narysuj trójkąt nie-równoramienny.
Narysuj środkową padającą na podstawę. Podziel ją na 3 równe części.
Opuść na podstawę wysokość z punktu "niższego".
I wysokość całego trójkąta na tę podstawę.
Jak sie mają do siebie te wysokości?