Równanie algebraiczne drugiego stopnia

[Moniak137]

Niech \(\displaystyle{ c>a>0}\) i niech \(\displaystyle{ F_{1}=(c,0), F_{2}=(-c,0).}\) Opisać równaniem algebraicznym drugiego stopnia zbiór wszystkich punktów \(\displaystyle{ P}\) spełniających warunek: \(\displaystyle{ ||PF_{1}|-|PF_{2}||=2a}\).

[kerajs]

\(\displaystyle{ \left| \sqrt{(x-c)^2+y^2}- \sqrt{(x+c)^2+y^2}\right| =2a \ \ \ \ \ \ \setminus ^{2}}\)
\(\displaystyle{ (x-c)^2+y^2 -2\sqrt{(x-c)^2+y^2}\sqrt{(x+c)^2+y^2} +(x+c)^2+y^2=4a^2 \\
x^2+y^2+c^2-2a^2=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\sqrt{(x+c)^2+y^2} \ \ \ \ \ \ \setminus ^{2}}\)
wykonaj podnoszenie do kwadratu, zredukuj wyrazy podobne i dostaniesz swoje równanie.

[Moniak137]

Wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ a^{2}(a^{2}-c^{2})=x^{2}(a^{2}-c^{2})+a^{2}y^{2}}\)
I co dalej?

[kropka+]

Żeby ładnie wyglądało to podziel stronami przez \(\displaystyle{ a ^{2}\left( a ^{2}-c ^{2} \right)}\) i dostajesz równanie elipsy.

[kerajs]

Raczej przerzuć wszystko na jedna stronę i możesz zakończyć, bo będziesz miała równanie algebraiczne stopnia drugiego.

Ps.
Gdybyś jednak, jak doradza Kropka+, podzieliła je obustronnie przez \(\displaystyle{ a^2(a^2-c^2)}\) i wykorzystała zależność \(\displaystyle{ b^2=c^2-a^2}\) , to okaże się że wyprowadziłaś znane Ci równanie hiperboli.

[kropka+]

Faktycznie hiperbola, bo \(\displaystyle{ a<c}\)

[Moniak137]

Ok, bardzo dziękuję za pomoc

-- 19 sty 2016, o 21:32 --

A mam jeszcze takie zadanie:
Niech \(\displaystyle{ p>0}\). Dana jest prosta \(\displaystyle{ l}\) o równaniu \(\displaystyle{ x=- \frac{1}{2}p}\) oraz punkt \(\displaystyle{ F=( \frac{1}{2}p,0)}\). Opisać równaniem algebraicznym drugiego stopnia zbiór wszystkich punktów \(\displaystyle{ P}\) spełniających warunek: \(\displaystyle{ |PF|=odl(P,l)}\).
odl-odległość

Wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ y^{2}=2px}\)
Czy to jest dobrze?-- 19 sty 2016, o 22:43 --Bardzo proszę o sprawdzenie.

[kerajs]

Dobrze, a ,,coś takiego' to równanie paraboli.