Zacząłem się uczyć geometrii analitycznej , klocek po klocku buduję teorię lecz trafiłem na punkt z którym nie mogę sobie poradzić za pomocą podręczników.
Proszę , wytłumaczcie mi : Po co jest iloczyn skalarny.
Rozumiem że jest to liczba zdefiniowana jako iloczyn wartości długości wektorów pomnożony przez cosinus kąta pomiędzy nimi. Lecz co ten iloczyn mi daje, pokazuje coś , daje jakoś nowy wektor. Po co mi informacja o tym iloczynie ?
Poza suchą definicją iloczynu skalarnego nie idzie w książce za tym żadna teoria czy zastosowanie. Jestem w kropce bo nie wiem skąd to się wzięło i co z tym zrobić.
Iloczyn skalarny
-
szw1710
Iloczyn skalarny
Iloczyny skalarne są podstawą analizy funkcjonalnej i teorii przestrzeni unitarnych oraz przestrzeni Hilberta. Bez iloczynów skalarnych nie byłoby szeregów Fouriera.
Iloczyn skalarny to dodatnio określony funkcjonał dwuliniowy symetryczny. Z jego własności i z nierówności Schwarza wynika możliwość określenia kąta między wektorami przestrzeni unitarnej (tj. przestrzeni liniowej wyposażonej w iloczyn skalarny). A że zgadza się to z tym co wiemy z fizyki: iloczyn długości pomnożony przez cosinus kąta między wektorami - to zupełnie inna sprawa.
Opisałem tu iloczyn skalarny z zupełnie innej perspektywy, ale dającej ogólniejsze spojrzenie. Jeśli studiujesz matematykę - powinieneś zrozumieć. Jeśli nie - pozostają wektory. Ich iloczyn skalarny jest liczbą. Mając wektory \(\displaystyle{ i,j}\) jednostkowe na płaszczyźnie, z określenia kątowego mamy \(\displaystyle{ i\circ j=0}\). Zachodzą też pewne własności algebraiczne, z których wynika wzór na obliczanie tego iloczynu.
Generalnie iloczynu skalarnego możemy używać właśnie do mierzenia kątów między wektorami czy do wyznaczania pracy siły (iloczyn skalarny wektorów siły i przesunięcia).
W kwestiach analizy funkcjonalnej polecam też lekturę następujących artykułów na moim blogu:
... a-czesc-i/
... -czesc-ii/
http://byc-matematykiem.pl/piekno-prost ... ta-piekna/
Iloczyn skalarny to dodatnio określony funkcjonał dwuliniowy symetryczny. Z jego własności i z nierówności Schwarza wynika możliwość określenia kąta między wektorami przestrzeni unitarnej (tj. przestrzeni liniowej wyposażonej w iloczyn skalarny). A że zgadza się to z tym co wiemy z fizyki: iloczyn długości pomnożony przez cosinus kąta między wektorami - to zupełnie inna sprawa.
Opisałem tu iloczyn skalarny z zupełnie innej perspektywy, ale dającej ogólniejsze spojrzenie. Jeśli studiujesz matematykę - powinieneś zrozumieć. Jeśli nie - pozostają wektory. Ich iloczyn skalarny jest liczbą. Mając wektory \(\displaystyle{ i,j}\) jednostkowe na płaszczyźnie, z określenia kątowego mamy \(\displaystyle{ i\circ j=0}\). Zachodzą też pewne własności algebraiczne, z których wynika wzór na obliczanie tego iloczynu.
Generalnie iloczynu skalarnego możemy używać właśnie do mierzenia kątów między wektorami czy do wyznaczania pracy siły (iloczyn skalarny wektorów siły i przesunięcia).
W kwestiach analizy funkcjonalnej polecam też lekturę następujących artykułów na moim blogu:
... a-czesc-i/
... -czesc-ii/
http://byc-matematykiem.pl/piekno-prost ... ta-piekna/