Postać parametryczna

[Chimera-1996]

Prostą \(\displaystyle{ l}\) daną równaniem ogólnym \(\displaystyle{ 4x-2y+6=0}\) przedstawić w postaci parametrycznej.

[kerajs]

Bierzesz dwa dowolne punkty tej prostej, (np:\(\displaystyle{ A=(0,3) \ , \ B=(1,5)}\))
Liczysz wektor miedzy nimi ( \(\displaystyle{ \vec{AB}=\left[ 1,2\right]}\) )
i już masz równanie parametryczne
( ja zaczepiam prostą w punkcie A i mam szukaną postać parametryczną
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0+1t \\ y=3+2t \end{cases}}\)
)

Zrób to samo dla dwóch innych punktów tej prostej.

Edit:

\(\displaystyle{ \vec{AB}=\left[ x _{B} -x _{A}, y _{B}- y _{A} \right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{BA}=\left[ x _{A} -x _{B}, y _{A}- y _{B} \right]}\)
Postać parametryczna prostej o wektorze kierunkowym \(\displaystyle{ \left[ x _{ \vec{k} },y _{ \vec{k} }\right]}\) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) :
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x_0+x _{ \vec{k} } t \\ y=y_0+y _{ \vec{k} } t \end{cases} \ \wedge \ t \in \RR}\)

[Ania221]

\(\displaystyle{ \begin{cases}x+2t=-2 \\ y+4t=-1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ [2;4]}\) - współrzędne wektora należącego do prostej

\(\displaystyle{ (-2;-1)}\) - współrzędne punktu należącego do tej prostej

[Chimera-1996]

Bierzesz dwa dowolne punkty tej prostej, (np:\(\displaystyle{ A=(0,3) \ , \ B=(1,5)}\))
Liczysz wektor miedzy nimi ( \(\displaystyle{ \vec{AB}=\left[ 1,2\right]}\) )
i już masz równanie parametryczne
(ja zaczepię prosta w punkcie A:
\(\displaystyle{ l \: \ \begin{cases} x=0+1t \\ y=3+2t \end{cases}}\) )

Zrób to samo dla dwóch innych punktów tej prostej.

A jak się oblicza wektor pomiędzy dwoma punktami?

[Straznik Teksasu]

\(\displaystyle{ 4x-2y+6=0}\)

\(\displaystyle{ 4x+6=2y}\)

\(\displaystyle{ 4x+6=2y=t}\)

\(\displaystyle{ 4x+6=t}\) oraz \(\displaystyle{ 2y=t}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{1}{4}t- \frac{3}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ y= \frac{1}{2}t}\)

[Chimera-1996]

Dlaczego każdym sposobem wychodzą inne postaci parametryczne?

[Ania221]

To wynika z interpretacji geometrycznej.
Współczynniki przy \(\displaystyle{ t}\) to odpowiednio współrzędne x-owa i y-owa wektora.
Wyrazy wolne to odpowiednio współrzędne punktu zaczepienia tego wektora.
i tak

\(\displaystyle{ \begin{cases}x+2t=-2 \\ y+4t=-1 \end{cases}}\) wektor\(\displaystyle{ [2;4]}\) zaczepiony w punkcie \(\displaystyle{ (-2;-1)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0+1t \\ y=3+2t \end{cases}}\) wektor\(\displaystyle{ [1;2]}\) zaczepiony w punkcie \(\displaystyle{ (0;3)}\)

Każdy z tych punktów należy do prostej, i każdy wektor zawiera się w tej prostej.
Można obrać dowolny wektor należący do danej prostej i dowolny punkt zaczepienia należący do tej prostej.