Równanie elipsy stycznej do prostych

[Boagcz]

Treść zadania:
Osie elipsy pokrywają się z osiami układu współrzędnych, a proste \(\displaystyle{ x+y=5}\), \(\displaystyle{ x-4y=10}\) są styczne do niej. Podać równanie elipsy

Zadanie rozwiązuje w ten sposób: do równania elipsy za y podstawiam równania prostych. Dostaję układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi(a i b). Wydaje mi się, że zadanie rozwiązuje dobrze jednak moje wyniki są błędne. Prawidłowa odpowiedź to: \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{5} = 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{a^{2}} =A\\
\frac{1}{b^2}=B\\\\
Ax^{2} + By^{2} = 1\\

Ax^{2} + B(5-x)^{2} = 1}\)

Po przekształceniach:
\(\displaystyle{ 4A +4B -100AB =0}\)

Z drugiego:
\(\displaystyle{ Ax^{2} + \frac{1}{16}B(x-10)^{2} = 1\\
16A + B -10AB =0
\\\\
\begin{cases} 4A +4B -100AB =0 \\ 16A + B -10AB =0\end{cases}\\\\
A=\frac{1}{26}\\
B=-1}\)

Wynik na pewno jest zły, bo B nie może być ujemne. Proszę o jakieś wskazówki co do rozwiązania.

-- 6 sty 2016, o 13:31 --

Może źle to ująłem. Moja metoda w zasadzie była taka sama jak twoja. Najprawdopodobniej zrobiłem tylko gdzieś błąd rachunkowy przy obliczaniu drugiego równania.
\(\displaystyle{ Ax^{2} + B(5-x)^{2} = 1
\\
(A+B)x^2-10Bx+25B-1=0 \\
\Delta = 0 \\
100B^2 -4(A+B)(25B-1) = 0\\
4A +4B -100AB =0}\)

W czasie kiedy odpowiadałem na posta, jeden z użytkowników usunął swoją odpowiedź z pomocną wskazówką. Nicku nie pamiętam, ale dziękuję za podpowiedź

[kerajs]

Sorry za skasowanie postu , ale zorientowałem się w końcu co robiłeś. Miałem nadzieję że znajdę bląd i dopiszę rozwiązanie zanim zaglądniesz na forum.
Pomyliłeś się w drugiej delcie.
Po uproszczeniu ja mam układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B-25AB=0 \\ 16A+B-100AB=0 \end{cases}}\)

Skasowany post:

Ukryta treść:    

Wersja na poziomie liceum:
Styczna do elipsy ma z nią jeden punkt wspólny. czyli układy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} Ax^2+By^2=1\\ x+y=5 \end{cases} \wedge \begin{cases} Ax^2+By^2=1\\ x-4y=10 \end{cases}}\)
mają po jednym rozwiązaniu co sprowadza się do tego, że równania:
\(\displaystyle{ A(5-y)^2+By^2=1 \wedge A(10+4y)^2+By^2=1}\)
\(\displaystyle{ (A+B)y^2-10Ay+25A-1=0 \wedge (16A+B)y^2+80Ay+100A-1=0}\)
też mają po jednym rozwiązaniu, czyli:
\(\displaystyle{ \Delta_1=0 \wedge \Delta_2=0}\)
co daje układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 100A^2-4(A+B)(25A-1)=0 \\ 6400A^2-4(16A+B)(100A-1)=0 \end{cases}}\)
Z tego wylicz pary A, B i sprawdź która daje Twoją elipsę.

[Boagcz]

Dziękuje za pomoc, tak mi się wydawało, że to jakiś drobny błąd się wkradł. Teraz wynik wychodzi prawidłowy.