Matematyka.pl

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ k}\), aby proste \(\displaystyle{ y=2x-4k+1}\) i \(\displaystyle{ y=-x+3k-8}\) przecinały się w punkcie, którego współrzędne spełniają warunek: \(\displaystyle{ |x|\leq 1}\) i \(\displaystyle{ y<0}\).

W odpowiedziach jest wynik \(\displaystyle{ k\in\left\langle \frac{6}{7}; \frac{12}{7}\right\rangle.}\)
Próbowałam rozwiązań układ, ale wyszedł mi kompletnie inny wynik...

Tym razem odpowiedź z książki jest prawidłowa. Z układu równań otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x= \frac{7}{3}k-3, y=\frac{2}{3}k - 5}\). Ma więc zachodzić koniunkcja warunków:
\(\displaystyle{ | \frac{7}{3}k - 3| \leq 1 \land \frac{2}{3}k - 5<0\\
-1\leq \frac{7}{3}k - 3 \leq 1 \land \frac{2}{3}k<5\\
6\leq 7k \leq 12 \land k< \frac{15}{2}=7 \frac{1}{2} \\ \frac{6}{7} \leq k \leq \frac{12}{7} \land k< 7 \frac{1}{2} \\ k \in \left\langle \frac{6}{7}; \frac{12}{7}\right\rangle}\)