2 wierzchołki prostokąta należą do paraboli, a 2 do pros

[*Kasia]

Wyznacz współrzędne wierzchołków prostokąta ABCD, którego dwa wierzchołki leżą na paraboli \(\displaystyle{ y=(x-2)^2}\), a dwa pozostałe na cięciwie paraboli y=3, aby pole prostokąta było największe.

Byłabym wdzięczna za jakieś wskazówki, bo nie mam pomysłu od czego zacząć.

[luka52]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ x_2 > x_1}\)
Wtedy pole prostokąta to \(\displaystyle{ S = ft( 3 - (x_1 - 2)^2 \right) (x_2 - x_1)}\)
(może być również \(\displaystyle{ S = ft( 3 - (x_2 - 2)^2 \right) (x_2 - x_1)}\), wszak skoro ma to być prostokąt to musi być \(\displaystyle{ (x_1 - 2)^2 = (x_2 - 2)^2}\) )
Oraz jest również \(\displaystyle{ x_1 + x_2 = 4}\)
Dalej należy wyliczyć \(\displaystyle{ x_1}\) z drugiego r. podstawić do pierwszego i obliczyć maksimum.

[*Kasia]

Wyszło mi teraz, że \(\displaystyle{ S=-2x_2^3+12x_2^2-18x_2+4}\). Jak z tego wyliczyć maksimum?

[luka52]

Najpierw obliczasz pochodną po \(\displaystyle{ x_2}\), czyli:
\(\displaystyle{ S'_{x_2} = - 6x_2^2 + 24 x - 18}\)
Pochodna ta zeruje się dla \(\displaystyle{ x_2 = 1 \, \, \, \, x_2 = 3}\). Jednak dla \(\displaystyle{ x_2 = 3}\) Pochodna zmienia znak z + na -, czyli maksimum.
Wierzchołki prostokąta to zatem:
\(\displaystyle{ (1,1), \ (3,1), \ (3,3) , \ (1,3)}\)

[*Kasia]

A nie dałoby się tego jakoś zrobić bez użycia pochodnych?

[max]

Rachunki można trochę uprościć przesuwając naszą parabolę o wektor \(\displaystyle{ [-2, 0]}\)
Wtedy szukamy takiego \(\displaystyle{ x}\), że wyrażenie:
\(\displaystyle{ 2x(3 - x^{2}), \ x (0, \sqrt{3})}\)
przyjmuje wartość największą, a będzie tak dla takiego \(\displaystyle{ x}\) dla którego funkcja:
\(\displaystyle{ f(x) = x(3 - x^{2}), \ x (0, \sqrt{3})}\)
przyjmuje wartość największą. No i teraz bez pochodnej widzę dwie możliwości:
1. Korzystamy z AM-GM i po paru dzikich przekształceniach wychodzi wartość największa dla \(\displaystyle{ x = 1}\).
2. Badamy monotoniczność z definicji.
Sposób drugi wydaje się bardziej ludzki