Mam do rozwiązania zadanie. Znajdź przestrzeń styczną oraz normalną do powierzchni \(\displaystyle{ z=xy}\) w punkcie \(\displaystyle{ (1,1,1)}\)
Moje rozwiązanie:
Niech \(\displaystyle{ H(x,y,z)=z-xy}\).
Wyznaczam \(\displaystyle{ \nabla H(1,1,1)=[-1,-1,1]}\)
Podstawiając do równania ogólnego
\(\displaystyle{ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0}\),
otrzymuję przestrzeń styczną
\(\displaystyle{ -x-y+z+1=0}\).
Przechodzę teraz do drugiej części zadania i wyznaczam przestrzeń normalną
mając punkt \(\displaystyle{ (1,1,1)}\) oraz wektor \(\displaystyle{ [-1,-1,1]}\) w postaci
parametrycznej:
Podstawiam dane do ogólnego wzoru
\(\displaystyle{ T(x,y,z)=(1,1,1)+r[-1,-1,1]}\) i otrzymuję:
\(\displaystyle{ x(r)=1-r,
y(r)=1-r,
z(r)=1+r}\)
Moje pytanie brzmi czy dobrze rozwiązałam zadanie. Przestrzenią styczną jest płaszczyzna a przestrzenią normalną prosta?