Mamy \(\displaystyle{ n}\) punktów w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\). Chcę udowodnić, że maksymalna odległość jest pomiędzy 9-oma pewnymi punktami (dalej będzie jasne o co chodzi).
Odległość dla dwóch punktów definiujemy jako:
\(\displaystyle{ |x_1-x_2|+|y_1-y_2|+|z_1-z_2|}\)
Dla jednego wymiaru problem jest prosty: max - min
Okazuje się, że dla drugiego wymiaru jest dokładnie tak samo, tzn rozważamy \(\displaystyle{ 4}\) punkty (\(\displaystyle{ 2}\) z nich są pożądaną parą). Te \(\displaystyle{ 4}\) punkty to: max/min po iksach i tak samo dla igreków.
Dlaczego tak jest ? Któreś punkty będą na pewno po którejś z przekątnych (to jest z definicji min/max). Przekątna tutaj ma znaczenie dla intuicji.
Ścieżkę w metryce miejskiej pomiędzy nimi można poprowadzić przez
dowolną inną ścieżkę pomiędzy pozostałymi punktami. Stąd jest to największa odległość.
Jak można teraz uzasadnić łatwo, że to przenosi się też na trzeci wymiar ? Tzn tam rozważamy \(\displaystyle{ 9}\) punktów (max/min po każdej z osi).
Oczywiście można to udowodnić analogicznie, ale czy da się szybciej/łatwiej ?