Wyznaczanie ognisk hiperboli i rys. w ukł. współrzędnych

[Kamillo178]

Witam.
Proszę o pomoc w zadaniu dot. krzywych stopnia drugiego. Szukałem już rozwiązań m.in. na tym forum w wyszukiwarce, ale wciąż mam z tym problem.

1. Wyznacz ogniska i stałą a hiperboli \(\displaystyle{ xy=1}\). Udało mi się wyznaczyć stałą rysunkowo (z tw. Pitagorasa) i wyszło mi, że 2a to \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\). Mam jednak problem z wyznaczeniem ogniska oraz stałej b. Szczerze powiem, że nie wiem do końca, co ona oznacza rysunkowo. Gdy szukałem rozwiązań, natrafiłem na propozycję zastąpienia układu współrzędnych \(\displaystyle{ y=x, x=-x}\). Dlaczego tak? Jak dostanę inną hiperbolę, to pewnie to nie zadziała?
2. Zadanie bardzo podobne. Mam naszkicować poniższą krzywą: \(\displaystyle{ x^2-4y^2-4x+8y-4=0}\). Udało mi się ją przekształcić do postaci kanonicznej: \(\displaystyle{ \frac{(x-2)^2}{4} - (y-1)^2 = 1}\), ale nie wiem, co dalej. Wyznaczyłem dwie asymptoty: \(\displaystyle{ y=\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ y=\frac{-1}{4}x + 3}\). Skąd mam teraz wiedzieć, po której stronie asymptot mam naszkicować funkcję? Jak najlepiej poradzić sobie z takim zadaniem?

Będę wdzięczny za każdą pomoc.
Pozdrawiam i dziękuję

[szw1710]

Propozycja zamiany układu jest właściwa. Zauważ, że hiperbola \(\displaystyle{ xy=1}\) jest równoosiowa, więc to jedyna sensowna zamiana układu. Wprowadź więc nowe współrzędne \(\displaystyle{ u=x+y}\) oraz \(\displaystyle{ v=x-y}\). Czemu tak? Na osiach układu poszczególne współrzędne są zerowe. Więc \(\displaystyle{ u=0}\) odpowiada prostej \(\displaystyle{ y=-x}\), a \(\displaystyle{ v=0}\) odpowiada prostej \(\displaystyle{ y=x}\).

[Kamillo178]

Dziękuję za pomoc Jeszcze tylko prosiłbym o podpowiedzi do rysowania hiperboli