Równanie uwikłane krzywej - od czego zacząć?

[Math_s]

Znajdź równanie uwikłane krzywej \(\displaystyle{ f(t)=( \frac{3t ^{4}+1 }{t ^{3} } , \frac{t ^{4}+3 }{t} )}\).
Przyjmijmy oznaczenia:

\(\displaystyle{ x=\frac{3t ^{4}+1 }{t ^{3} }}\)

\(\displaystyle{ y=\frac{t ^{4}+3 }{t}}\)

Nie wiem jak wyrugować \(\displaystyle{ t}\).
Liczę różnicę, podnoszę do kwadratu, dzielę... i nic.

Od czego zacząć?

[kerajs]

\(\displaystyle{ t^3x=3t^4+1 \\
ty=t^4+3}\)
1)
Iloczyn tych równań to:
\(\displaystyle{ t^4xy=(3t^4+1 )(t^4+3) \\ 3(t^4)^2+(10-xy)t^4 +3=0 \\ (t^4)^2+ \frac{ (10-xy)}{3}t^4 +1=0 \\
(t^4+ \frac{10-xy}{6} )^2-(\frac{10-xy}{6} )^2+1=0
t^4+ \frac{10-xy}{6}= \pm \sqrt{(\frac{10-xy}{6} )^2-1} \\
t^4= -\frac{10-xy}{6}- \sqrt{(\frac{10-xy}{6} )^2-1} \vee t^4=- \frac{10-xy}{6}+ \sqrt{(\frac{10-xy}{6} )^2-1}}\)
Równania (lub tylko jedno z nich) mają sens wyłącznie przy pewnych założeniach .

2)
Iloraz tych równań to:
\(\displaystyle{ t^2 \frac{x}{y} = \frac{3t^4+1}{t^4+3} \\ t^4 (\frac{x}{y})^2 = (\frac{3t^4+1}{t^4+3})^2}\)

Wyliczone \(\displaystyle{ t^4}\) z 1) wstaw za wszystkie \(\displaystyle{ t^4}\) w ostatnim równaniu w 2) a pozbędziesz się zmiennej ,,t'.

[Math_s]

Dzięki!

A mam takie pytanie, czy gdyby było tak, że mam np takie równanka:

\(\displaystyle{ t^3x=3t^4+t \\ ty=t^4+3t}\)

czy mogę obustronnie skrócić przez t?
A gdyby było tak z x lub y, to mogę skracać?

Mi się wydaje, że nie, bo się chyba "gubi" rozwiązanie...

Wie ktoś jak to jest, mylę się czy nie?

[kerajs]

Skracanie czyli upraszczanie zawsze warto wykonać. Najwyżej dostaniesz kilka łatwiejszych wyrażeń.
Tu skrócenie nic nie gubi gdyż i tak zero nie należy do dziedziny zmiennej ,,t'.

[Math_s]

Ok, to tak jest, gdy zero nie należy do dziedziny, gdy mówimy o t.

Ale co w przypadku, gdy np mamy coś takiego:

\(\displaystyle{ (x(t),y(t))=( \frac{3at}{1+t ^{3} } , \frac{3at ^{2} }{1+t^{3}} )}\)

dla \(\displaystyle{ t \in (-1,\infty)}\)

Licząc iloraz dostajemy coś takiego \(\displaystyle{ \frac{y}{x}=t}\)

i teraz \(\displaystyle{ x=\frac{3a \frac{y}{x}}{1+ (\frac{y}{x}) ^{3} }}\)

mnożę prawą stronę przez jedynkę w postaci \(\displaystyle{ \frac{x^{3}}{x^{3}}}\)

dostaję \(\displaystyle{ x= \frac{3ax ^{2}y }{x ^{3}+y ^{3} }}\)
zatem mamy:

\(\displaystyle{ x(x ^{3}+y ^{3} )=3ax ^{2}y}\)

(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!) I TU JEST TERAZ PYTANIE

Czy mogę obie strony podzielić przez x????
x jest przecież funkcją t....

[kerajs]

\(\displaystyle{ x(x ^{3}+y ^{3} )=3ax ^{2}y}\)

(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!) I TU JEST TERAZ PYTANIE
Czy mogę obie strony podzielić przez x????
x jest przecież funkcją t....

Zawsze możesz zrobić tak:
\(\displaystyle{ x(x ^{3}+y ^{3} )-3ax ^{2}y=0}\)
\(\displaystyle{ x \left[ (x ^{3}+y ^{3} )-3axy\right]=0}\)
\(\displaystyle{ x=0 \ \vee \ x ^{3}+y ^{3} -3axy=0\right]}\)

Tu akurat możesz dzielić bo w zadanym przedziale zmiennej ,,t' Twoje ,,x' nigdy zerem nie będzie.