Środek symetrii krzywej

[Moniak137]

Zbadać, czy krzywa opisana podanym równaniem posiada środek symetrii. Jeśli tak, to wyznaczyć współrzędne tego środka.
a) \(\displaystyle{ 5x^{2}+12xy-22x-12y-19=0,}\)
b) \(\displaystyle{ 9x^{2}+24xy+16y^{2}-230x+110y-475=0.}\)

Jak się zabrać za to zadanie? Bardzo proszę o pomoc, bo kompletnie nie wiem jak rozwiązać to zadanie.

[Kartezjusz]

Zapisz w pełnych kwadratach te krzywe

[Moniak137]

To znaczy jak?

[norwimaj]

Najpierw tak, żeby się pozbyć wyrazu z \(\displaystyle{ xy,}\) na przykład tak:

\(\displaystyle{ (3x+2y)^2-(2x)^2-6(3x+2y)-2(2x)-19=0.}\)

Podstawienie liniowe zachowuje środek odcinka, więc można podstawić:

\(\displaystyle{ \begin{cases}s=3x+2y\\t=2x\end{cases}}\)

i dalej wyznaczać środek symetrii na nowych zmiennych.

[Moniak137]

A jak wyznaczyć ten środek symetrii? Pierwszy raz się spotkałam się z takim zadaniem i naprawdę nie wiem jak to się robi, dlatego bardzo bym prosiła o wytłumaczenie.

[Kartezjusz]

Na razie wykonaj podstawienie, które radzi Ci norwimaj

[Moniak137]

W takim razie mamy:
\(\displaystyle{ s^{2} -t^{2}-6s-2t-19=0}\)
I co dalej?

[norwimaj]

Zwiń kwadraty:

\(\displaystyle{ s^2-6s+9=\ldots}\)

\(\displaystyle{ t^2+2t+1=\ldots}\)