Matematyka.pl

Witam serdecznie,

Ostatnio miałem problem z takim zadaniem tego typu:

Oblicz kat pomiędzy wektorami \(\displaystyle{ \vec{p} = 6\vec{m} + 4\vec{n}}\) i \(\displaystyle{ \vec{q}=2\vec{m} + 10\vec{n}}\), jeżeli wiadomo, ze \(\displaystyle{ \vec{m}}\) i \(\displaystyle{ \vec{n}}\) są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi.

Próbowałem wykorzystać wzór na iloczyn skalarny, ale moje rozwiązanie nie zgadzało się ze wzorcowym (może ono jest złe, a nie moje ) dlatego proszę Was o pomoc w rozwiązaniu.

Pozdrawiam,
Maciek

To jak próbowałeś to przedstaw tu swoje próby.

1. Obliczam wektor skalarny \(\displaystyle{ \vec{p} \cdot \vec{q}=\left(6 \vec{m}+4 \vec{n}\right) \cdot \left( 2 \vec{m}+10 \vec{n} \right)=12\left| \vec{m} \right| ^{2}+68 \vec{m} \cdot \vec{n}+ 40\left| \vec{n} \right| ^{2}=12+0+40=52}\)
2. Obliczam iloczyn długości wektorów\(\displaystyle{ \left| \vec{p} \right| \left| \vec{q} \right|= \left| 6 \vec{m}+4 \vec{n} \right| \left| 2 \vec{m}+10 \vec{n} \right|=\left( 6+4\right) \left( 2+10\right) =10 \cdot 12=120}\)
3. Podstawiam do wzoru \(\displaystyle{ cos\left( \vec{p} \vec{q} \right)= \frac{ \vec{p} \cdot \vec{q} }{\left| \vec{p} \right|\left| \vec{q} \right| }= \frac{52}{120} = \frac{13}{30}}\)

Nie wychodzi żadna charakterystyczna wartość cosinusa, jako odpowiedź na to zadanie mam podane: \(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{4}}\) czyli \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\), czyli co innego niż mi wyszło.

Będę bardzo wdzięczny za jakąkolwiek odpowiedź

\(\displaystyle{ \left| \vec{p} \right| \left| \vec{q} \right|= \left| 6 \vec{m}+4 \vec{n} \right| \left| 2 \vec{m}+10 \vec{n} \right|\red{\neq}\left( 6+4\right) \left( 2+10\right) =10 \cdot 12=120}\)

Oblicz długości tych wektorów ze wzoru \(\displaystyle{ |\vec{a}|^2=\vec{a}\cdot\vec{a}}\)

Bardzo dziękuje, teraz faktycznie widzę swój błąd