Napisać równanie hiperboli mając wzór stycznej i ogniska

[Dragon339]

Witam, mam problem z następującym zadaniem.

Napisać równanie hiperboli, mając daną prostą styczną \(\displaystyle{ 2*x-y-4=0}\) i wiedząc, że ogniska tej hiperboli znajdują się w punktach \(\displaystyle{ F_{1}=\left( 3, 0\right)}\) i \(\displaystyle{ F_{2}=\left( -3, 0\right)}\)

Kompletnie nie wiem jak się za to zabrać. Próbowałem podstawić 3 pod C i wyliczyć wtedy b lub a we wzorze hiperboli. Później układ równań z prostą styczną, tyle że mamy wtedy 3 niewiadome i dwa równania. Myślałem żeby użyć wzoru na styczną hiperboli, ale nie wiem co dalej.

[kropka+]

Z równania stycznej w punkcie \(\displaystyle{ \left( p,q\right)}\) dostajesz \(\displaystyle{ \frac{p}{a ^{2} }= \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{q}{b ^{2} }= \frac{1}{4}}\)

Pozostałe dwa równania wynikają ze wzoru na \(\displaystyle{ c ^{2}}\) i z tego, że punkt \(\displaystyle{ (p,q)}\) należy do hiperboli.

[Dragon339]

Z równania stycznej w punkcie \(\displaystyle{ \left( p,q\right)}\) dostajesz \(\displaystyle{ \frac{p}{a ^{2} }= \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{q}{b ^{2} }= \frac{1}{4}}\)

Pozostałe dwa równania wynikają ze wzoru na \(\displaystyle{ c ^{2}}\) i z tego, że punkt \(\displaystyle{ (p,q)}\) należy do hiperboli.

W sumie dochodziłem do tego punktu, tyle że nie wiedziałem co dalej. Czyli będzie coś takiego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{p}{a^{2}}= \frac{1}{2} \\ \frac{q}{b^{2}}= \frac{1}{4} \\9= a^{2} + b^{2} \\ \frac{p^{2}}{a^{2}} + \frac{q^{2}}{b^{2}} =1 \end{cases}}\)

?

[kropka+]

tak