Mam takie zadanie i oczywiście problem z nim:
znaleźć środek okręgu wpisanego w trójkąt o bokach
\(\displaystyle{ x+y+12=0}\)
\(\displaystyle{ 7x+y=0}\)
\(\displaystyle{ 7x-y+28=0}\)
Kombinuję w ten sposób: środek okręgu wpisanego w trójkąt znajduje sie na przeciąciu dwusiecznych kątów wewnętrzych tego trójkąta, tylko jak znaleźć równania tych dwusiecznych?
Znaleźć środek okręgu wpisanego w trójkąt.
-
Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
Znaleźć środek okręgu wpisanego w trójkąt.
Rysunek pomocniczy:
Dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. To wskazówka. Dobrze kombinujesz. Wyznacz punkty przecięcia się boków i na podstawie ich przecięcia mozesz obliczyć dłougość boków i promień okręgu. A jeśli chodzi o środek okręgu to weź pod uwagę fakt, iż okrąg jest styczny do każdej z podanych przez Ciebie prostych a odległość tego środka od tych prostych jest równ promieniowi.
- AU
- 5f70a216716313a7med.jpg (33.83 KiB) Przejrzano 715 razy
Dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. To wskazówka. Dobrze kombinujesz. Wyznacz punkty przecięcia się boków i na podstawie ich przecięcia mozesz obliczyć dłougość boków i promień okręgu. A jeśli chodzi o środek okręgu to weź pod uwagę fakt, iż okrąg jest styczny do każdej z podanych przez Ciebie prostych a odległość tego środka od tych prostych jest równ promieniowi.
-
maciejka
- Użytkownik
- Posty: 99
- Rejestracja: 1 kwie 2007, o 09:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 9 razy
Znaleźć środek okręgu wpisanego w trójkąt.
Z moich wyliczeń: punkty przecięcia: A=(2,-14); B=(-2,14); C=(14,-26), długości boków:
\(\displaystyle{ AB=20\sqrt{2}/AC=12\sqrt{2}/AC=20}\)
I teraz nie wiem jak obliczyć długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt?
\(\displaystyle{ AB=20\sqrt{2}/AC=12\sqrt{2}/AC=20}\)
I teraz nie wiem jak obliczyć długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt?
-
JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Znaleźć środek okręgu wpisanego w trójkąt.
Dwusieczna kąta to (z własności) zbiór punktów równoodległych od ramion kąta. Zatem szukane dwusieczne (wystarczą dwie) zawarte są w rozwiązaniu równaniań:
\(\displaystyle{ k \equiv \frac{|x+y+12|}{\sqrt{1+1}}=\frac{|7x+y|}{\sqrt{49+1}}}\)
oraz
\(\displaystyle{ l \equiv \frac{|x+y+12|}{\sqrt{1+1}}=\frac{|7x-y+28|}{\sqrt{49+1}}}\)
Po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ 5\sqrt{2}}\), wykorzystaniu \(\displaystyle{ |a|=|b|\iff(a=b\quad \quad a=-b)}\) oraz zweryfikowaniu (na rysunku) które proste są dwusiecznymi kątów wewnętrznych a które zewnętrznych otrzymamy
\(\displaystyle{ k_{1}\equiv y=-2x-10}\) oraz \(\displaystyle{ l_{2}\equiv y={1\over3}x-{16\over3}}\)
Proste te przecinają się (rozwiązałem układ) w punkcie \(\displaystyle{ Q(-2,-6)}\) który jest środkiem szukanego okręgu.
Wystarczy teraz policzyć \(\displaystyle{ r=d(Q,x+y+12=0)=2\sqrt{2}}\) aby napisać równanie okręgu i odpowiedź
Pozdrawiam
PS Współrzędne punktu \(\displaystyle{ C(-5,-7)}\)!
\(\displaystyle{ k \equiv \frac{|x+y+12|}{\sqrt{1+1}}=\frac{|7x+y|}{\sqrt{49+1}}}\)
oraz
\(\displaystyle{ l \equiv \frac{|x+y+12|}{\sqrt{1+1}}=\frac{|7x-y+28|}{\sqrt{49+1}}}\)
Po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ 5\sqrt{2}}\), wykorzystaniu \(\displaystyle{ |a|=|b|\iff(a=b\quad \quad a=-b)}\) oraz zweryfikowaniu (na rysunku) które proste są dwusiecznymi kątów wewnętrznych a które zewnętrznych otrzymamy
\(\displaystyle{ k_{1}\equiv y=-2x-10}\) oraz \(\displaystyle{ l_{2}\equiv y={1\over3}x-{16\over3}}\)
Proste te przecinają się (rozwiązałem układ) w punkcie \(\displaystyle{ Q(-2,-6)}\) który jest środkiem szukanego okręgu.
Wystarczy teraz policzyć \(\displaystyle{ r=d(Q,x+y+12=0)=2\sqrt{2}}\) aby napisać równanie okręgu i odpowiedź
Pozdrawiam
PS Współrzędne punktu \(\displaystyle{ C(-5,-7)}\)!