Mam takie zadanie i nie wiem zupełnie jak się do niego zabrać:
Dany jest punkt \(\displaystyle{ A(1,2-1) oraz wektory \vec{AB}=[0,1,1] i \vec{AC}=[-1,2,0]}\).
Znaleźć równanie boku BC w trójkącie ABC i równanie płaszczyzny, w której leży trójkąt ABC.
Znaleźć równanie boku w trójkącie i równanie płasz
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Znaleźć równanie boku w trójkącie i równanie płasz
Z danych bezpośrednio wynika, że \(\displaystyle{ B(1,3,0)}\) , \(\displaystyle{ C(0,4,-1)}\) oraz \(\displaystyle{ \overrightarrow{BC}=[-1,1,-1]}\) zatem prosta zawierająca bok BC w postaci parametrycznej może być podana jako: \(\displaystyle{ a:\left\{\begin{array}\ x=1-t\\y=3+t\\z=0-t\end{array}}\); gdzie \(\displaystyle{ t\in R}\)
Pierwsza metoda na płaszczyznę: \(\displaystyle{ \pi : Ax+By+Cz+D=0}\)
Skoro punkty A, B i C należą do tej płaszczyzny, to ich współrzędne spełniają jej równanie. Otrzymamy układ trzech równań z czterema niewiadomymi do rozwiązania (uzależnienie od jednej ze zmiennych jako parametru różnego od zera i podzieli się)
Druga metoda na płaszczyznę: Wektor \(\displaystyle{ \vec{N}_{\pi}=[A,B.C]}\) jest wektorem normalnym dla szukanej płaszczyzny i na przykład \(\displaystyle{ \vec{N}_{\pi}=\overrightarrow{AB}× \overrightarrow{AC}=\left[\left|\begin{array}{cc}2&0\\1&1}\end{array}\right|;-\left|\begin{array}{cc}-1&0\\0&1}\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1&2\\0&1}\end{array}\right|\right]=[2,1,-1]}\)
Zatem \(\displaystyle{ \pi : 2x+y-z+D=0}\). Skoro punkt A należy do niej to
\(\displaystyle{ \pi : 2+2+1+D=0\iff D=-5}\)
Ostatecznie \(\displaystyle{ \pi : 2x+y-z-5=0}\) (co łatwo sprawdzić punkty B,C należą do niej)
Pozdrawiam
PS. Nie poplącz, proszę, nazw punktów ze współczynnikami płaszczyzny - są łudząco podobne (jak róża - kwiat i Róża - imię)
[edit] uzupełnienie i poprawka
Pierwsza metoda na płaszczyznę: \(\displaystyle{ \pi : Ax+By+Cz+D=0}\)
Skoro punkty A, B i C należą do tej płaszczyzny, to ich współrzędne spełniają jej równanie. Otrzymamy układ trzech równań z czterema niewiadomymi do rozwiązania (uzależnienie od jednej ze zmiennych jako parametru różnego od zera i podzieli się)
Druga metoda na płaszczyznę: Wektor \(\displaystyle{ \vec{N}_{\pi}=[A,B.C]}\) jest wektorem normalnym dla szukanej płaszczyzny i na przykład \(\displaystyle{ \vec{N}_{\pi}=\overrightarrow{AB}× \overrightarrow{AC}=\left[\left|\begin{array}{cc}2&0\\1&1}\end{array}\right|;-\left|\begin{array}{cc}-1&0\\0&1}\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1&2\\0&1}\end{array}\right|\right]=[2,1,-1]}\)
Zatem \(\displaystyle{ \pi : 2x+y-z+D=0}\). Skoro punkt A należy do niej to
\(\displaystyle{ \pi : 2+2+1+D=0\iff D=-5}\)
Ostatecznie \(\displaystyle{ \pi : 2x+y-z-5=0}\) (co łatwo sprawdzić punkty B,C należą do niej)
Pozdrawiam
PS. Nie poplącz, proszę, nazw punktów ze współczynnikami płaszczyzny - są łudząco podobne (jak róża - kwiat i Róża - imię)
[edit] uzupełnienie i poprawka
Ostatnio zmieniony 20 lip 2007, o 09:40 przez JHN, łącznie zmieniany 1 raz.