2 zadania z dzialu o prostej

[szczepanik89]

zad 1
Wierzcholkami czworokata ABCD sa punkty A=(-1,4) B=(5,-7) C=(7,3) . Wyznacz punkt D tak aby czworokat ABCD byl trapezem rownoramiennym i odcinek AB byl jego podstawa.

Zad2
Wykaz ze jezeli srodkiem ciezkosci trojkata ABC jest punkt S to \(\displaystyle{ \vec{AS}+ \vec{BS} + \vec{CS} = 0 .}\)

[Tristan]

Ad 1:
1.Wyznaszasz równanie prostej AB.
2.Wyznaczasz równanie prostej CD.
3.Otrzymujesz z tego, że punkt D ma współrzędne \(\displaystyle{ (x, -1 \frac{5}{6} x+15 \frac{5}{6} )}\).
4.Rozwiązujesz równanie \(\displaystyle{ |BC|=|AD|}\), tj. \(\displaystyle{ \sqrt{ (7-5)^2+(3+7)^2 }=\sqrt{ (x+1)^2 +(-1 \frac{5}{6} x+ 15 \frac{5}{6} - 4)^2}}\).

Ad 2:
Środek ciężkości \(\displaystyle{ S}\) jest punktem przecięcia się środkowych trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Wektory \(\displaystyle{ \vec{AS}, \vec{BS}, \vec{CQ}}\) przedstawiamy jako kombinację liniową wektorów \(\displaystyle{ \vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CA}}\). Jeśli "z głowy" nie potrafimy ułożyć tych kombinacji, to tworzymy rysunek, a wtedy już łatwo widać, że: \(\displaystyle{ \vec{AS}=\frac{2}{3}( \vec{AC} + \frac{1}{2} \vec{CB} ), \vec{BS}=\frac{2}{3}( \vec{BC} + \frac{1}{2} \vec{CA} ), \vec{CS}=\frac{2}{3}( \vec{CA} + \frac{1}{2} \vec{AB} )}\)
Obliczamy, że \(\displaystyle{ \vec{AS} + \vec{BS} + \vec{ CS}= \frac{2}{3} ( \vec{AC} + \vec{CA} + \vec{BC} + \frac{1}{2} \vec{CB} + \frac{1}{2} \vec{CA} + \frac{1}{2} \vec{AB} )= \frac{1}{3} ( \vec{BC} + \vec{CA} + \vec{AB} )= \vec{0}}\)

[szczepanik89]

\(\displaystyle{ A=(-1,4) B=(5,-2) C=(7,3)}\)

Wyznaczam wzor prostej w ktorej zawiera sie odcinek AB
\(\displaystyle{ a=\frac{y_{b}-y_{a}}{x_{b}-x_{a}} =\frac{-2-4}{5+1}=\frac{-6}{6}=-1}\)
\(\displaystyle{ b=y-x \iff b=4+1 \iff b=5}\)
\(\displaystyle{ l: y=-x+5}\)

Wyznaczam wzor prostej w ktorej zawiera sie odcinek BC
\(\displaystyle{ a=\frac{y_{c}-y_{b}}{x_{c}-x_{b}} =\frac{3+2}{7-5}=\frac{5}{2}=2,5}\)
\(\displaystyle{ b=y-2,5x \iff b=-2-2,5 * 5 \iff b=-14,5}\)
\(\displaystyle{ s: y=2,5x-14,5}\)

Wyznaczam wzor prostej w ktorej zawiera sie odcinek CD
\(\displaystyle{ a=\frac{y_{d}-y_{c}}{x_{d}-x_{c}}}\)
\(\displaystyle{ z \parallel l \iff a_{1}=a_{2}}\)
\(\displaystyle{ y=-x+b \iff y=-x+10 }\)

[Justka]

Wyznaczamy równanie prostej zawierajacej punkty A i B:
\(\displaystyle{ \begin{cases}4=-a+b\\ -2=5a+b\end{cases}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ y=-x+3}\)
Wyznaczamy równanie prostej równoległej do prostej \(\displaystyle{ y=-x+3}\) przechodzącej przez punkt C:
\(\displaystyle{ \begin{cases}3=7a+b\\ a=-1\end{cases}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ y=-x+10}\)
I z tego otrzymujesz że punkt D ma współrzedne: \(\displaystyle{ D=(x,-x+10)}\)

Następnie:
-obliczamy długośc odcinka |BC|:
\(\displaystyle{ |BC|=\sqrt{(7-5)^2+(3+2)^2}\\
|BC|=\sqrt{29}}\)
Teraz rozwiązujemy równanie\(\displaystyle{ |BC|=|AD|}\)A więc:
\(\displaystyle{ |BC|=\sqrt{(x-(-1))^2+(-x+10-4)^2}\\
\sqrt{29}=\sqrt{(x+1)^2+(6-x)^2}}\)

Po obliczeniu dochodzimy do postaci:
\(\displaystyle{ 2x^2-10x+8=0}\)
I rozwiązujemy równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=6\\
x=\frac{10+\sqrt{\Delta}}{2\cdot 2}\\
x=4}\)
I mamy juz rozwiązanie:
\(\displaystyle{ D=(4,-4+10)\\
D=(4,6)}\)

Pozdrawiam!!

[szczepanik89]

male wtracenie
tam sa dwa rozwiazania drugie jest D=(1,9) ale jako ze uwzgledniamy tresc zadania bierzemy tylko jedna wspolrzedna dzieki za pomoc w rozwiazaniu