Współrzędne środka okręgu wpisanego/opisanego na trójkącie

[norbi1952]

Witam. Mam trójkąt o współrzędnych \(\displaystyle{ A(0,6)}\), \(\displaystyle{ B(2,0)}\) oraz \(\displaystyle{ C(8,2)}\). W jaki sposób mogę obliczyć współrzędne środka okręgu wpisanego/opisanego na nim? Proszę o jak najprostszy sposób. Próbowałem to rozwiązać na podstawie kilku przykładów znalezionych w internecie, lecz odpowiedzi zawsze wychodziły inne niż powinny.

Wiem, że współrzędne środka okręgu opisanego na tym trójkącie mają być następujące: \(\displaystyle{ S(4,4)}\).

[Yelon]

Okrąg wpisany w trójkąt, ma środek na przecięciu dwusiecznych.

Skorzystaj z twierdzenia o dwusiecznej: ... k%C4%85cie

Wydaje mi się, że jeśli masz wierzchołki trójkąta, to z pomocą tego twierdzenia, wzoru na długość odcinka przy danych końcach oraz wzoru prostą przechodzącą przez dwa punkty; możesz wyliczyć punkt przecięcia dwusiecznych.

[a4karo]

Dwusieczne ciężko się liczy. Okrąg wpisany jest styczny do boków w punktach, które dzielą boki na odcinki o długościach: \(\displaystyle{ a=p+b, b=q+r, c=r+p}\). Wylicz te odcinki i poprowadż przez te punkty proste prostopadłe do boków. Ich punkt przecięcia to środek .

Z okręgiem opisanym jest jeszcze prosciej: symetralne boków.

[amellana]

Dla trójkąta ABC o bokach BC = a, CA = b, AB = c i o współrzędnych wierzchołków: A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3), wzór na środek okręgu wpisanego (x, y) to

\(\displaystyle{ x = (ax1 + bx2 + cx3)/(a + b + c)}\)
\(\displaystyle{ y = (ay1 + by2 + cy3)/(a + b + c)}\)