Równość modułów wektorów

[AoA]

Dana jest relacja \(\displaystyle{ \star}\) taka, że \(\displaystyle{ \vec{x} \star \vec{y} \Leftrightarrow \left| \vec{x} \right| = \left| \vec{y} \right|}\)

Pokaż, że \(\displaystyle{ \vec{x} \star \vec{y} \Rightarrow \left( k \cdot \vec{x}\right) \star \left( k \cdot \vec{y}\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in R}\), natomiast \(\displaystyle{ \cdot}\) mnożenie wektora przez liczbę rzeczywistą.

Zrobiłem to w taki sposób:

Niech \(\displaystyle{ \vec{x} = \left[ x_{1}, x_{2} \right]}\) i \(\displaystyle{ \vec{y} = \left[ y_{1},y_{2} \right]}\)

\(\displaystyle{ \vec{x} \star \vec{y} \Leftrightarrow \left| \vec{x} \right| = \left| \vec{y} \right| \Leftrightarrow \sqrt{x^{2}_1 + x_2^{2}} = \sqrt{y^{2}_1 + y_2^{2}} \Rightarrow k^{4} \sqrt{x^{2}_1 + x_2^{2}} = k^{4} \sqrt{y^{2}_1 + y_2^{2}} \Leftrightarrow

\sqrt{\left( kx_1\right) ^{2} + \left( kx_2\right) ^{2}} = \sqrt{\left( ky_1\right) ^{2} + \left( ky_2\right) ^{2}} \Leftrightarrow \left| k \cdot \vec{x} \right| = \left| k \cdot \vec{y} \right| \Leftrightarrow \left( k \cdot \vec{x}\right) \star \left( k \cdot \vec{y}\right)}\)

Czy moje rozumowanie jest poprawne?

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ \newrgbcolor{dr}{0.5 0 0}{\dr{k^4}}\sqrt{x_1^2+x_2^2}=\sqrt{{\dr{k^8}}x_1^2+{\dr{k^8}}x_2^2}\)

Wystarczy to:

• \(\displaystyle{ \vec{x}\star\vec{y} \Leftrightarrow k\cdot\left|\vec{x}\right|=k\cdot\left|\vec{y}\right| \Leftrightarrow \left|k\cdot\vec{x}\right|=\left|k\cdot\vec{y}\right| \Leftrightarrow (k\cdot\vec{x})\star(k\cdot\vec{y})}\)