rzutowanie wektorów

[mpiwosal]

Mam 2 zadanka z którymi kompletnie nie potrafię sobie poradzić. Prosiłbym o instrukcje krok po kroku:
1) Oblicz rzut wektora \(\displaystyle{ v_{1}}\) na płaszczyznę ortogonalną do wektora \(\displaystyle{ v _{2}}\) (wykorzystaj iloczyn
skalarny w \(\displaystyle{ \RR ^{n}}\))
2) Zbuduj wektor, który jest ortogonalny jednocześnie do wektora \(\displaystyle{ v_{1}}\) i \(\displaystyle{ v_{2}}\) w \(\displaystyle{ \RR^{n}, (n\ge 3)}\) .


z góry dzięki

[SlotaWoj]

Wprowadzę swoje oznaczenia.

Zadanie 1.

• Oblicz rzut wektora \(\displaystyle{ \vec{v}}\) na płaszczyznę ortogonalną do wektora \(\displaystyle{ \vec{w}}\) (wykorzystaj iloczyn skalarny w \(\displaystyle{ \RR^n}\)).

Rozwiązanie.

• \(\displaystyle{ \vec{v}=\left[v_1;v_2;v_3,\ ...\ v_n\right] \\
  \vec{w}=\left[w_1;w_2;w_3,\ ...\ w_n\right] \\
  \vec{v}\cdot\vec{w}= \sum_{i=1}^{n}v_iw_i}\)

Wektor

• \(\displaystyle{ \frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\left|\vec{w}\right|}\cdot\frac{\vec{w}}{\left|\vec{w}\right|}}\)

jest rzutem wektora \(\displaystyle{ \vec{v}}\) na kierunek wektora \(\displaystyle{ \vec{w}}\), a wektor

• \(\displaystyle{ \vec{v}-\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\left|\vec{w}\right|}\cdot\frac{\vec{w}}{\left|\vec{w}\right|}}\)

jest rzutem wektora \(\displaystyle{ \vec{v}}\) na płaszczyznę prostopadłą do wektora \(\displaystyle{ \vec{w}}\).

Wektor

• \(\displaystyle{ \frac{\vec{w}}{\left|\vec{w}\right|}}\)

jest wektorem jednostkowym (o długości 1) o kierunku wektora \(\displaystyle{ \vec{w}}\).

Zadanie 2.

• Zbuduj wektor, który jest ortogonalny jednocześnie do wektora \(\displaystyle{ \vec{v}}\) i \(\displaystyle{ \vec{w}}\) w \(\displaystyle{ \RR^n\ n\ge3}\) .

Rozwiązanie.

Warunkiem prostopadłości (parami) wektorów \(\displaystyle{ \vec{u}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{u}}\) i \(\displaystyle{ \vec{w}}\) jest:

• \(\displaystyle{ \begin{cases}
  \ \vec{u}\cdot\vec{v}=\sum_{i=1}^{n}u_iv_i=0 \\
  \ \vec{u}\cdot\vec{w}=\sum_{i=1}^{n}u_iw_i=0
  \end{cases}}\)

Należy dla wektora \(\displaystyle{ \vec{u}}\) przyjąć jakieś wartości n-2 współrzędnych, powiedzmy \(\displaystyle{ u_3}\), \(\displaystyle{ u_4}\), \(\displaystyle{ u_5}\), ... \(\displaystyle{ u_n}\), a pozostałe dwie współrzędne, tu \(\displaystyle{ u_1}\) i \(\displaystyle{ u_2}\) wyznaczyć jako rozwiązanie ww. układu równań.