Oblicz pole i długość przekątnej kwadratu

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
at_new
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 29 lis 2004, o 20:48

Oblicz pole i długość przekątnej kwadratu

Post autor: at_new »

W kwadracie ABCD istnieje wierzchołek A(2;0). Jedna z przekątnych tego kwadratu zawiera się w prostej o równaniu y = 2x ? 1. Oblicz długość przekątnej, pole kwadratu oraz zapisz równie okręgów opisanego na kwadracie i wpisanego w kwadrat ABCD.
Yavien
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 800
Rejestracja: 21 cze 2004, o 22:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: W-U

Oblicz pole i długość przekątnej kwadratu

Post autor: Yavien »

Przenosze do geometrii analitycznej.

A = (2,0) nie lezy na tej prostej. Znajdz wierzcholek C - punkt symetryczny do A wzgledem danej prostej. AC jest przekatna. Dalej juz prosto.
Awatar użytkownika
bisz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 572
Rejestracja: 13 paź 2004, o 18:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 27 razy

Oblicz pole i długość przekątnej kwadratu

Post autor: bisz »

przekątne kwadratu z zasady przecinają się pod kątem prostym więc mamy układ równań:
\(\displaystyle{ y=2x-1}\)
\(\displaystyle{ y=-\frac{1}{2}x+1}\)
z którego wychodzi
\(\displaystyle{ x=\frac{4}{5}}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{3}{5}}\)

to współrzędne punktu przecięcia przekątnych, zatem długość przekątnej kwadratu obliczamy następująco

\(\displaystyle{ (2-\frac{4}{5})^{2}+(\frac{3}{5})^{2} = \frac{9}{5}}\)

czyli przekątna \(\displaystyle{ d = 2r}\)czyli:
\(\displaystyle{ r=\frac{3}{\sqrt{5}}}\) więc \(\displaystyle{ d = \frac{6}{\sqrt{5}}}\)
równanie okręgo opisanego już mamy
\(\displaystyle{ (x-\frac{4}{5})^{2}+(y-\frac{3}{5})^{2}=\frac{9}{5}}\)
teraz wpisanym okręgiem sie zajmiemy, bok kwadratu oznaczmy jako 'a'
\(\displaystyle{ d=a\sqrt{2}}\) czyli \(\displaystyle{ a=\frac{6\sqrt{10}}{10}}\)
więc rownanie okręgu wpisanego wyglada nastepująco:
\(\displaystyle{ (x-\frac{4}{5})^{2}+(y-\frac{3}{5})^{2}=\frac{9}{10}}\)
ODPOWIEDZ