Wyprowadź wzór na iloczyn skalarny

[BelAir]

Zadanie brzmi: Udowodnij, że iloczyn skalarny dwóch wektorów w układzie kartezjańskim ma postać \(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_{x} b_{x} +a_{y} b_{y} +a_{z} b_{z}}\)
Próbowałem z długości wektorów, ale nie wiem co wpisać zamiast \(\displaystyle{ cos<ab}\) i jak wyjść z pierwiastka, gdyż ostatecznie mam prawą stronę równania pod pierwiastkiem plus ten cosinus.

[macik1423]

Narysuj sobie dwa wektory i ich różnice, a potem z twierdzenia cosinusów.

[a4karo]

\(\displaystyle{ \vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}}\), tak samo \(\displaystyle{ \vec{b}}\). Wymnóż to i skorzystaj z prostopadlosci wersorów.

[Michalinho]

Niech \(\displaystyle{ \vec{i},\vec{j},\vec{k}}\) to wektory jednostkowe odpowiednio osi \(\displaystyle{ x,y,z}\) (tzw. wersory).
Wtedy: \(\displaystyle{ \vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{z}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}=b_x\vec{i}+b_y\vec{j}+b_z\vec{z}}\).
Po wymnożeniu otrzymasz wyrazy:
\(\displaystyle{ a_x\cdot b_x\cdot\vec{i}\cdot\vec{i}}\)
\(\displaystyle{ a_y\cdot b_y\cdot\vec{j}\cdot\vec{j}}\)
\(\displaystyle{ a_z\cdot b_z\cdot\vec{k}\cdot\vec{k}}\)
a pozostałe to iloczyny pewnych współrzędnych wektorów i różnych wersorów.
Zauważ, że \(\displaystyle{ \vec{i}\cdot\vec{i}=|\vec{i}|\cdot|\vec{i}|\cdot\cos0^\circ=1}\). Podobnie \(\displaystyle{ \vec{y}\cdot\vec{y}=\vec{z}\cdot\vec{z}=1}\).
A w podobny sposób \(\displaystyle{ \vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{i}\cdot\vec{k}=\vec{j}\cdot\vec{k}=0}\).
Stąd teza: \(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_{x} b_{x} +a_{y} b_{y} +a_{z} b_{z}}\)

[a4karo]

Niech \(\displaystyle{ \vec{i},\vec{j},\vec{k}}\) to wektory jednostkowe odpowiednio osi \(\displaystyle{ x,y,z}\) (tzw. wersory).
Wtedy: \(\displaystyle{ \vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{z}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}=b_x\vec{i}+b_y\vec{j}+b_z\vec{z}}\).
Po wymnożeniu otrzymasz wyrazy:
\(\displaystyle{ a_x\cdot b_x\cdot\vec{i}\cdot\vec{i}}\)
\(\displaystyle{ a_y\cdot b_y\cdot\vec{j}\cdot\vec{j}}\)
\(\displaystyle{ a_z\cdot b_z\cdot\vec{k}\cdot\vec{k}}\)
a pozostałe to iloczyny pewnych współrzędnych wektorów i różnych wersorów.
Zauważ, że \(\displaystyle{ \vec{i}\cdot\vec{i}=|\vec{i}|\cdot|\vec{i}|\cdot\cos0^\circ=1}\). Podobnie \(\displaystyle{ \vec{y}\cdot\vec{y}=\vec{z}\cdot\vec{z}=1}\).
A w podobny sposób \(\displaystyle{ \vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{i}\cdot\vec{k}=\vec{j}\cdot\vec{k}=0}\).
Stąd teza: \(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_{x} b_{x} +a_{y} b_{y} +a_{z} b_{z}}\)

No i dałeś autorowi szansę na zrobienie czegoś pożytecznego ...