Krzywe, parabola, hiperbola

Frynio · Post autor: **Frynio** » 12 paź 2015, o 19:02

Witam. Mam problem z jednym podpunktem w 1 zadaniu, oraz z kolejnymi trzema w innym. Wygląda to tak:

b) Wyznaczyć równanie hiperboli jeżeli punkt \(\displaystyle{ F(-4,3)}\) jest jej ogniskiem, punkt \(\displaystyle{ W(5,3)}\) jest wierzchołkiem, zaś proste \(\displaystyle{ L_{1} : 3x-4y+9=0, L_{2} : 3x+4y-15=0}\) są asymptotami tej hiperboli

z7

Jakie to krzywe:

a) \(\displaystyle{ x^2-y^2-9=0}\)
b) \(\displaystyle{ x^2-4xy+y^2-16=0}\)
c) \(\displaystyle{ x^2+y^2=2xy}\)

(i tu wiem jakie to są, mam Wolfram Alpha, ale chodzi o to, jak do tego dojść)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 12 paź 2015, o 19:06

a) no bez przesady, sam spróbuj
b) Spróbuj przez wzory skróconego mnożenia doprowadzić do sumy bądź różnicy dwóch kwadratów (\(\displaystyle{ 16}\) przenieś na prawo)
c) prościutkie zastosowanie wzoru skróconego mnożenia

Frynio · Post autor: **Frynio** » 12 paź 2015, o 21:49

a) - mi wyszło, chciałem sprawdzić, czy dobrze
c) - no to, to ja też widzę, ale co to za krzywa \(\displaystyle{ (x-1)^2=0}\)?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 12 paź 2015, o 21:52

a) A co Ci wyszło?

c) A co wynika dalej z tego równania (nawiasem mówiąc, albo źle liczysz, albo masz literówkę)

Frynio · Post autor: **Frynio** » 12 paź 2015, o 22:21

a) \(\displaystyle{ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{9}=1}\)

c) \(\displaystyle{ (x-y)^2=0}\) - oczywiście. No właśnie nie wiem

Bo tak na chłopski rozum, to w c) wychodzi, że \(\displaystyle{ y=x}\), czyli jest to linia prosta

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 12 paź 2015, o 22:26

a) Równanie OK. Co to za linia?

b) Co dalej wynika z tego równania?

Frynio · Post autor: **Frynio** » 12 paź 2015, o 22:28

a) No jest to hiperbola równoosiowa

c) Że \(\displaystyle{ y=x}\)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 12 paź 2015, o 22:29

a) OK

b) OK

Frynio · Post autor: **Frynio** » 12 paź 2015, o 22:42

Ale \(\displaystyle{ y=x}\) to raczej nie jest krzywa stożkowa, czy jak?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 12 paź 2015, o 22:54

Nie jest. Ale pytanie masz "jakie to krzywe". Więc jest to prosta. Prosta jest krzywą.

Frynio · Post autor: **Frynio** » 12 paź 2015, o 22:59

Jasne, tak to zostawię

b) Wyznaczyć równanie hiperboli jeżeli punkt \(\displaystyle{ F(-4,3)}\) jest jej ogniskiem, punkt \(\displaystyle{ W(5,3)}\) jest wierzchołkiem, zaś proste\(\displaystyle{ L_{1} : 3x-4y+9=0, L_{2} : 3x+4y-15=0}\) są asymptotami tej hiperboli.

A co z tym? Od razu widać, że \(\displaystyle{ y_{0}=3}\). Z tymi asymptotami można też pokombinować i wychodzi: \(\displaystyle{ y=\frac{3}{4}(x+3)}\) oraz \(\displaystyle{ y=-\frac{3}{4}(x-5)}\). I co teraz?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 12 paź 2015, o 23:21

Dla hiperboli jest taki charakterystyczny prostokąt, którego przekątnymi są asymptoty. Jaki to prostokąt? Prześledź to dla hiperboli \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}\). Jak ma się ogniskowa \(\displaystyle{ c}\) do \(\displaystyle{ a,b}\)?

Proponuję wprowadzić nowy układ współrzędnych związany z tym prostokątem i jego środkiem. Później wrócisz do starego układu. Dobrej nocy.

Frynio · Post autor: **Frynio** » 13 paź 2015, o 00:36

Dobra, już ogarnąłem. Wychodzi na to, że w środku takiego prostokąta znajduje się środek hiperboli. Resztę wyznaczamy geometrycznie/algebraicznie.

Tak jeszcze dla potomnych:
b)
\(\displaystyle{ x^2-4xy+y^2-16=0}\)
\(\displaystyle{ y^2-4xy=16-x^2 / +4x^2}\)
\(\displaystyle{ (y-2x)^2=3x^2+16}\)
\(\displaystyle{ \frac{(y-2x)^2}{16}-\frac{3x^2}{16}=1}\)

Nie wiem, czy tak może być, że \(\displaystyle{ (y-2x)^2}\), ale to jedyne, co podpowiada sam Wolfram Alpha

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 13 paź 2015, o 08:21

Oczywiście, że może być. Ta hiperbola nie jest zorientowana ani poziomo, ani pionowo - jej "układ odniesienia" i omawiany prostokąt są inne.