pomiar powierzchni działki o kształcie prostokata

[qudlaty12]

Mam taką treść zadania i nie wiem jak je rozwiązać:

W celu dokładnego pomiaru powierzchni działki w kształcie prostokąta, zmierzono jej
długość i szerokość. Podaj z jaką dokładnością należy zmierzyć wymiary działki, aby błąd
względny obliczenia jej powierzchni nie przekraczał 1%. Wiadomo, że długość działki jest
dwukrotnie większa niż szerokość. Szerokość działki wynosi 100m. Wynik podaj w cm.

[SlotaWoj]

• \(\displaystyle{ x = 100\mbox{ m} \\
  y = 200\mbox{ m} \\
  P = x \x \cdot y \\
  \Delta P = \frac{\partial P}{\partial x}\cdot\Delta x + \frac{\partial P}{\partial y}\cdot\Delta y \\
  \frac{\Delta P}{P} = 0,01\quad(1\%)}\)

• \(\displaystyle{ \Delta x = \Delta y \\}\) – bo niby dlaczego dokładności pomiarów szerokości i długości działki mają być różne.

Można też podstawić \(\displaystyle{ y=2x}\) , wtedy \(\displaystyle{ P}\) jest funkcją jednej zmiennej \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ \Delta x = \Delta y}\) zachodzi „automatycznie”.

[kruszewski]

"W celu dokładnego pomiaru powierzchni działki w kształcie prostokąta, zmierzono jej
długość i szerokość."
Czy w celu niedokładnego pomiaru można zmierzyć tylko długość lub szerokość?
Mierząc długość i szerokość, ogólnie długości linii nie dokonujemy pomiaru powierzchni.
Do tego takie sformułowanie:"W celu dokładnego ...". Tu kaleczona polszczyzna się kłania.
Kto pisze takie teksty?
W.Kr.

[SlotaWoj]

Kolega Kruszewski uzmysłowił mi, że czegoś nie zauważyłem. W temacie zadania powinno być:

• Wiadomo, że długość działki jest około dwukrotnie większa niż szerokość, a ta jest równa około 100 m.

[mdd]

\(\displaystyle{ P = x \x \cdot y \\
\Delta P = \frac{\partial P}{\partial x}\cdot\Delta x + \frac{\partial P}{\partial y}\cdot\Delta y \\
\frac{\Delta P}{P} = 0,01\quad(1\%)}\)
\(\displaystyle{ \Delta x = \Delta y \\}\)

Warto zauważyć, że jeśli Kolega Qudlaty12 nie wie co to jest pochodna cząstkowa (albo w ogóle nie zna pojęcia pochodnej), to przedstawiony problem można rozwiązać dokładnie tak jak to zrobiła Koleżanka Medea 2.

Jeśli oznaczyć \(\displaystyle{ \Delta x = \Delta y =\Delta l}\) to nasze \(\displaystyle{ P_{\text{rzecz}}}\) spełnia warunek:

\(\displaystyle{ P_{\text{min}} \le P_{\text{rzecz}} \le P_{\text{max}}}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ P_{\text{min}}=\left( x- \Delta l \right) \left( y - \Delta l \right)=xy-\left( x+y\right) \Delta l + \left( \Delta l\right)^2}\)

\(\displaystyle{ P_{\text{max}}=\left( x+ \Delta l \right) \left( y + \Delta l \right)=xy+\left( x+y\right) \Delta l + \left( \Delta l\right)^2}\)

Przekształcając powyższe otrzymujemy:

\(\displaystyle{ P-P_{\text{min}}=\left( x+y\right) \Delta l - \left( \Delta l\right)^2}\)

\(\displaystyle{ P_{\text{max}}-P=\left( x+y\right) \Delta l + \left( \Delta l\right)^2}\)

W praktyce wyrażenie \(\displaystyle{ \left( \Delta l\right)^2}\) można zaniedbać, o ile tylko \(\displaystyle{ \Delta l\right}\) jest małe w porównaniu z \(\displaystyle{ x,y}\).

Chciałem tylko podkreślić, że zależność \(\displaystyle{ \Delta P = \frac{\partial P}{\partial x}\cdot\Delta x + \frac{\partial P}{\partial y}\cdot\Delta y}\) jest tylko pewnym przybliżeniem (także i w tym przypadku prostej funkcji \(\displaystyle{ P(x,y)=xy}\))... a całe zadanie można przerobić z uczniami, którzy jeszcze nie znają pojęcia pochodnej. Wydaje mi się, że im prościej, tym lepiej .