znajdź równania stycznych do okręgu \(\displaystyle{ x ^{2} + y^{2} + bx - 4 = 0}\) prostopadłych do prostej \(\displaystyle{ -2x+3y=0}\).
Nie mamy pojęcia "od której strony" się do tego zabrać...
znajdź równania stycznych do okręgu
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 12 sty 2014, o 17:43
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Starachowice
znajdź równania stycznych do okręgu
Ostatnio zmieniony 6 paź 2015, o 00:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
znajdź równania stycznych do okręgu
Jakie jest równanie prostopadłej do prostej o równaniu \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\) ?
Nie będzie takie:
Trzeba ustalić wartości współczynników \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) i obliczyć przy jakim \(\displaystyle{ F}\) (będą dwa takie) prosta \(\displaystyle{ Dx+Ey+F=0}\) ma jeden punkt wspólny z ww. okręgiem.
Oczywiście w równaniu okręgu jest parametr \(\displaystyle{ b}\), więc dla każdej jego wartości okrąg będzie miał inny promień i położenie oraz będą inne dwie proste styczne do okręgu i prostopadłe do prostej \(\displaystyle{ -2x+3y=0}\) .
Nie będzie takie:
- \(\displaystyle{ Dx+Ey+F=0}\)
Trzeba ustalić wartości współczynników \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) i obliczyć przy jakim \(\displaystyle{ F}\) (będą dwa takie) prosta \(\displaystyle{ Dx+Ey+F=0}\) ma jeden punkt wspólny z ww. okręgiem.
Oczywiście w równaniu okręgu jest parametr \(\displaystyle{ b}\), więc dla każdej jego wartości okrąg będzie miał inny promień i położenie oraz będą inne dwie proste styczne do okręgu i prostopadłe do prostej \(\displaystyle{ -2x+3y=0}\) .
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
znajdź równania stycznych do okręgu
\(\displaystyle{ -2x+3y=0\ \to \ 3y=2x\ \to \ y=\frac23x}\)
Szukane styczne mają postać \(\displaystyle{ y=\frac{-3}2x+k}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\), które trzeba wyrazić przy pomocy parametru \(\displaystyle{ b}\)
Rozwiąż układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2+bx-4=0 \\ y=\frac{-3}2x+k \end{cases}}\)
czyli wstawiasz równanie szukanej stycznej do równania okręgu
masz równanie kwadratowe z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\) i parametrami \(\displaystyle{ b,k}\)
liczysz \(\displaystyle{ \Delta}\)
Prosta ma być styczna, czyli ma mieć jeden punkt wspólny z okręgiem - czyli równanie kwadratowe ma mieć jedno rozwiązanie - czyli musi być \(\displaystyle{ \Delta=0}\)
Z warunku \(\displaystyle{ \Delta=0}\) wychodzi ci równanie kwadratowe z niewiadomymi \(\displaystyle{ b,k}\)
Twoim celem jest wyrażenie \(\displaystyle{ k}\) przy pomocy \(\displaystyle{ b}\)
więc niewiadomą w tym równaniu kwadratowym jest \(\displaystyle{ k}\), a parametrem jest \(\displaystyle{ b}\)
liczysz \(\displaystyle{ \Delta_k}\), potem \(\displaystyle{ k_1}\) i \(\displaystyle{ k_2}\)
Szukane współczynniki \(\displaystyle{ k_1, \ k_2}\) powinny ci wyjść \(\displaystyle{ k_1=\frac{-3b-\sqrt{13b^2+208}}4}\) oraz \(\displaystyle{ k_2=\frac{-3b+\sqrt{13b^2+208}}4}\)
Wobec tego szukane równania to
\(\displaystyle{ y=\frac{-3}2x+\frac{-3b-\sqrt{13b^2+208}}4}\)
oraz
\(\displaystyle{ y=\frac{-3}2x+\frac{-3b+\sqrt{13b^2+208}}4}\)
Szukane styczne mają postać \(\displaystyle{ y=\frac{-3}2x+k}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\), które trzeba wyrazić przy pomocy parametru \(\displaystyle{ b}\)
Rozwiąż układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2+bx-4=0 \\ y=\frac{-3}2x+k \end{cases}}\)
czyli wstawiasz równanie szukanej stycznej do równania okręgu
masz równanie kwadratowe z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\) i parametrami \(\displaystyle{ b,k}\)
liczysz \(\displaystyle{ \Delta}\)
Prosta ma być styczna, czyli ma mieć jeden punkt wspólny z okręgiem - czyli równanie kwadratowe ma mieć jedno rozwiązanie - czyli musi być \(\displaystyle{ \Delta=0}\)
Z warunku \(\displaystyle{ \Delta=0}\) wychodzi ci równanie kwadratowe z niewiadomymi \(\displaystyle{ b,k}\)
Twoim celem jest wyrażenie \(\displaystyle{ k}\) przy pomocy \(\displaystyle{ b}\)
więc niewiadomą w tym równaniu kwadratowym jest \(\displaystyle{ k}\), a parametrem jest \(\displaystyle{ b}\)
liczysz \(\displaystyle{ \Delta_k}\), potem \(\displaystyle{ k_1}\) i \(\displaystyle{ k_2}\)
Szukane współczynniki \(\displaystyle{ k_1, \ k_2}\) powinny ci wyjść \(\displaystyle{ k_1=\frac{-3b-\sqrt{13b^2+208}}4}\) oraz \(\displaystyle{ k_2=\frac{-3b+\sqrt{13b^2+208}}4}\)
Wobec tego szukane równania to
\(\displaystyle{ y=\frac{-3}2x+\frac{-3b-\sqrt{13b^2+208}}4}\)
oraz
\(\displaystyle{ y=\frac{-3}2x+\frac{-3b+\sqrt{13b^2+208}}4}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 12 sty 2014, o 17:43
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Starachowice