znajdź równania stycznych do okręgu

[CarolinUcha]

znajdź równania stycznych do okręgu \(\displaystyle{ x ^{2} + y^{2} + bx - 4 = 0}\) prostopadłych do prostej \(\displaystyle{ -2x+3y=0}\).

Nie mamy pojęcia "od której strony" się do tego zabrać...

[SlotaWoj]

Jakie jest równanie prostopadłej do prostej o równaniu \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\) ?

Nie będzie takie:

• \(\displaystyle{ Dx+Ey+F=0}\)

Gdzie \(\displaystyle{ F}\) jest dowolne, ale między współczynnikami \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) zachodzi ściśle określony związek. Jaki?

Trzeba ustalić wartości współczynników \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) i obliczyć przy jakim \(\displaystyle{ F}\) (będą dwa takie) prosta \(\displaystyle{ Dx+Ey+F=0}\) ma jeden punkt wspólny z ww. okręgiem.

Oczywiście w równaniu okręgu jest parametr \(\displaystyle{ b}\), więc dla każdej jego wartości okrąg będzie miał inny promień i położenie oraz będą inne dwie proste styczne do okręgu i prostopadłe do prostej \(\displaystyle{ -2x+3y=0}\) .

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ -2x+3y=0\ \to \ 3y=2x\ \to \ y=\frac23x}\)

Szukane styczne mają postać \(\displaystyle{ y=\frac{-3}2x+k}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\), które trzeba wyrazić przy pomocy parametru \(\displaystyle{ b}\)

Rozwiąż układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2+bx-4=0 \\ y=\frac{-3}2x+k \end{cases}}\)
czyli wstawiasz równanie szukanej stycznej do równania okręgu
masz równanie kwadratowe z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\) i parametrami \(\displaystyle{ b,k}\)
liczysz \(\displaystyle{ \Delta}\)
Prosta ma być styczna, czyli ma mieć jeden punkt wspólny z okręgiem - czyli równanie kwadratowe ma mieć jedno rozwiązanie - czyli musi być \(\displaystyle{ \Delta=0}\)
Z warunku \(\displaystyle{ \Delta=0}\) wychodzi ci równanie kwadratowe z niewiadomymi \(\displaystyle{ b,k}\)
Twoim celem jest wyrażenie \(\displaystyle{ k}\) przy pomocy \(\displaystyle{ b}\)
więc niewiadomą w tym równaniu kwadratowym jest \(\displaystyle{ k}\), a parametrem jest \(\displaystyle{ b}\)
liczysz \(\displaystyle{ \Delta_k}\), potem \(\displaystyle{ k_1}\) i \(\displaystyle{ k_2}\)

Szukane współczynniki \(\displaystyle{ k_1, \ k_2}\) powinny ci wyjść \(\displaystyle{ k_1=\frac{-3b-\sqrt{13b^2+208}}4}\) oraz \(\displaystyle{ k_2=\frac{-3b+\sqrt{13b^2+208}}4}\)

Wobec tego szukane równania to
\(\displaystyle{ y=\frac{-3}2x+\frac{-3b-\sqrt{13b^2+208}}4}\)
oraz
\(\displaystyle{ y=\frac{-3}2x+\frac{-3b+\sqrt{13b^2+208}}4}\)

[CarolinUcha]

Dziękuję za odpowiedzi, ale poradziliśmy sobie wczoraj