odległość punktu od prostej

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
wielkireturner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 403
Rejestracja: 8 lut 2015, o 10:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: London ChinaTown
Podziękował: 151 razy
Pomógł: 4 razy

odległość punktu od prostej

Post autor: wielkireturner »

Udowodnić, że odległość punktu \(\displaystyle{ P=(x_{0},y_{0})}\) od prostej o równaniu \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\) dana jest wzorem:
\(\displaystyle{ \frac{ \left| Ax_{0}+By_{0}+C \right| }{ \sqrt{A^{2}+B^{2}}}}\).
szw1710

odległość punktu od prostej

Post autor: szw1710 »

Najpierw wyznacz (ale bez tego wzoru, tylko robiąc rysunek i obliczając) odległość punktu \(\displaystyle{ P(1,2)}\) od prostej \(\displaystyle{ 3x-4y+7=0}\), a następnie rozwiąż takie samo zadanie w sytuacji ogólnej, tak jak masz opisane, czyli na literach.
Awatar użytkownika
siwymech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2428
Rejestracja: 17 kwie 2012, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Targ
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 608 razy

odległość punktu od prostej

Post autor: siwymech »

AU
AU
6be91d55ba514918med.jpg (18.05 KiB) Przejrzano 37 razy
Propozycja rozw.
1. Przez punkt \(\displaystyle{ P(x_0,y_0)}\) prowadzimy prostą \(\displaystyle{ p}\) prostopadłą do danej prostej \(\displaystyle{ r}\) o równaniu w postaci ogólnej \(\displaystyle{ Ax+By +C=0}\).
Wykorzystujemy znany warunek prostopadłości.
Określimy w ten sposób równanie prostej \(\displaystyle{ p}\).
2. Obie proste prostopadłe \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ r}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ R}\). Współrzędne tego punktu \(\displaystyle{ R(x_1,y_1)}\) znajdziemy rozw. układ równań, który odzwierciedla prostą \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ r}\).
3. Znając współrzędne punktu \(\displaystyle{ P}\) i mając obl. współrzędne p. \(\displaystyle{ R}\) znajdujemy odległość między dwoma punktami \(\displaystyle{ P(x_0,y_0)}\) i \(\displaystyle{ R(x_1,y_1)}\) czyli określimy \(\displaystyle{ |PR|=d}\).
Ostatnio zmieniony 27 wrz 2015, o 11:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
ODPOWIEDZ