Wypukłość zbioru

[macubu]

Cześć wszystkim

Mam następujący problem:

Nie wiem jak zbadać wypukłość zbioru:

\(\displaystyle{ A = \left\{\left(x,y\right) \in R^{2} : y \ge x^{4} + 6x^{2} - 3x - 1 \wedge x^{2} + y^{2} \le 4 \right\}}\)

Jest jakaś inna metoda poza wykazywaniem wypukłości z definicji?
Może jakieś zastosowanie wypukłości funkcji?

[szw1710]

Pierwsza nierówność definiuje nadwykres funkcji (wypukłej) \(\displaystyle{ f(x)=x^4+6x^2-3x-1}\). Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest wypukła \(\displaystyle{ \iff}\) jej nadwykres \(\displaystyle{ \text{epi }f}=\{(x,y):y\ge f(x)\}}\) jest zbiorem wypukłym. Druga nierówność określa koło, czyli też zbiór wypukły. Część wspólna zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym.

Zadanie dla Ciebie - udowodnić twierdzenie o nadwykresie, które powyżej podałem. Czasem uwolnienie się od konkretu pozwala na dostrzeżenie większej liczby rzeczy. Myślę o tym, że w ogóle nie trzeba rachować na tej funkcji.

[macubu]

Pierwsza nierówność definiuje nadwykres funkcji (wypukłej) \(\displaystyle{ f(x)=x^4+6x^2-3x-1}\). Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest wypukła \(\displaystyle{ \iff}\) jej nadwykres \(\displaystyle{ \text{epi }f}=\{(x,y):y\ge f(x)\}}\) jest zbiorem wypukłym. Druga nierówność określa koło, czyli też zbiór wypukły. Część wspólna zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym.

Zadanie dla Ciebie - udowodnić twierdzenie o nadwykresie, które powyżej podałem. Czasem uwolnienie się od konkretu pozwala na dostrzeżenie większej liczby rzeczy. Myślę o tym, że w ogóle nie trzeba rachować na tej funkcji.

Dziękuje za odpowiedź,
Chyba już rozumiem
Czyli sprawdzenie znaku drugiej pochodnej z \(\displaystyle{ f(x)=x^4+6x^2-3x-1}\) powinno załatwić sprawę?
Jeżeli tak to zbiór nad funkcją \(\displaystyle{ f(x)=x^4+6x^2-3x-1}\) jest wypukły ponieważ
\(\displaystyle{ f''(x)=12x^{2}+12}\)
jest dodatnie dla każdego rzeczywistego x.

Tej drugiej nierówności nie muszę wykazywać?

[Kartezjusz]

Jeśli miałeś twierdzenie, że kule w przestrzeniach unormowanych są wypukłe.

[szw1710]

Strzelasz do much z armaty. Już w szkole średniej na geometrii uczymy się i dowodzimy, że koło jest figurą wypukłą. Owszem, używamy pojęcie wypukłości i w wyższej matematyce to nawet eleganckie, ale nie strasz kolegi macubu

macubu, może być. Masz \(\displaystyle{ f''(x)>0}\), więc \(\displaystyle{ f}\) jest wypukła. Udowodnij to co powiedziałem o nadwykresie.