Przekształcenie trapezu

[revage]

Trapez o wierzchołkach \(\displaystyle{ A(-2:-2), B(6,2), C(4,4), D(0,2)}\) przekształcono przez jednokładność o środku \(\displaystyle{ S}\), tak ze obrazem podstawy \(\displaystyle{ AB}\) jest podstawa \(\displaystyle{ CD}\). Podaj współrzędne środka \(\displaystyle{ S}\) i skale \(\displaystyle{ k}\). Wyznacz współrzędne punktów \(\displaystyle{ C'}\) i \(\displaystyle{ D'}\) będącymi obrazami punktów \(\displaystyle{ C, D}\) w tej jednokładności.

Obliczyłam skale wychodzi \(\displaystyle{ \frac12}\) i \(\displaystyle{ -\frac12}\). Obliczyłam wszystko dla skali \(\displaystyle{ -\frac12}\). Nie wiem teraz jak obliczyć środek dla skali \(\displaystyle{ \frac12}\). W odpowiedziach jest ze \(\displaystyle{ S(2,6)}\), mi sie wydaje ze powinien byc taki sam dla obydwu skal, czyli \(\displaystyle{ (2,2)}\). Proszę o pomoc.

[loitzl9006]

punkt D nie powinien być \(\displaystyle{ (0;4)}\) ?

[revage]

punkt D nie powinien być \(\displaystyle{ (0;4)}\) ?

Nie

[loitzl9006]

sprawdź jeszcze raz czy dobrze przepisałaś wszystkie punkty, coś mi się współrzędne nie zgadzają

[revage]

\(\displaystyle{ A(-2;-2)}\)-obliczenia robiłam dla tego punktu

[loitzl9006]

A to \(\displaystyle{ S(2;2)}\) to nie dla ujemnej skali ? Tak mi się wydaje ze dla ujemnej

odcinki.png (4.98 KiB) Przejrzano 1209 razy

Środek jednokładności \(\displaystyle{ S}\) dla dodatniej skali ma być wg mnie taki, że punkty \(\displaystyle{ S,D,A}\) oraz \(\displaystyle{ S,C,B}\) mają być współliniowe
Czyli rysujemy proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\)

odcinki - Kopia.png (5.74 KiB) Przejrzano 1210 razy

Punkt przecięcia narysowanych prostych będzie \(\displaystyle{ S}\)

Moim zdaniem środek dla ujemnej skali powinien być \(\displaystyle{ (2;2)}\) a dla dodatniej \(\displaystyle{ (2;6)}\)-- 13 sie 2015, o 19:18 --Wzoru z którego to w miarę sprawnie policzysz, nie widzę niestety (co nie znaczy że nie ma takiego)..
spróbuję inaczej
jeśli \(\displaystyle{ k>0}\) to obraz \(\displaystyle{ A'}\) jest po tej samej stronie co punkt \(\displaystyle{ A}\)

Przykład:

Masz dwa punkty

\(\displaystyle{ . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .A}\)

załóżmy że skala jest \(\displaystyle{ k=\frac12}\)

\(\displaystyle{ . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S. \ \ \ \ \ \blue .A'\black \ \ \ \ \ .A}\)

czyli \(\displaystyle{ |SA'|=|k| \cdot|SA|}\)

***
jeśli \(\displaystyle{ k<0}\) to obraz \(\displaystyle{ A'}\) jest po przeciwnej stronie punktu \(\displaystyle{ A}\)

to samo

\(\displaystyle{ . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .A}\)

tylko że \(\displaystyle{ k=-\frac12}\):

\(\displaystyle{ . \ \ \ \ \ \ \ \ \blue .A'\black \ \ \ \ \ \ \ \ \ S. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .A}\)

czyli jeśli skala ujemna to punkt \(\displaystyle{ S}\) leży zawsze między \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ A'}\)

Zaś ogolnie, czy skala dodatnia czy ujemna to punkty \(\displaystyle{ A, A', S}\) leżą na jednej prostej

Tyle tej teorii wracamy do zadania

masz 2 opcje:

1. opcja:
obrazem punktu \(\displaystyle{ A}\) jest punkt \(\displaystyle{ C}\)
obrazem punktu \(\displaystyle{ B}\) jest punkt \(\displaystyle{ D}\)
punkty \(\displaystyle{ A,C,S}\) muszą leżeć na jednej prostej (zgodnie z zasadami jednokładności)
tak samo punkty \(\displaystyle{ B,D,S}\)

więc punkt \(\displaystyle{ S}\) musi leżeć na przecięciu prostych \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\)

2. opcja:
obrazem \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ D}\)
obrazem \(\displaystyle{ B}\) jest \(\displaystyle{ C}\)
\(\displaystyle{ A,D,S}\) leżą na jednej prostej i \(\displaystyle{ B,C,S}\) - leżą na jednej prostej
czyli \(\displaystyle{ S}\) musi leżeć na przecięciu prostych \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\)

raczej nie spotkasz zadania w stylu \(\displaystyle{ A\left( 5;6-2\sqrt{11}\right) , \ A'=\left( 2\sqrt{11};1\right)}\) więc dobry rysunek + to co wypisałem wystarczy

[revage]

Obliczam teraz S z wektorów \(\displaystyle{ \vec{D'S}= k\vec{A'S}

\left[ x+2; y+2\right]= \frac{1}{2} \left[x;y-2 \right]}\)
Nie wychodzi mi z tego