Mam takie niesympatyczne zadanie: wykazać, że płaszczyzny styczne do powierzchni \(\displaystyle{ \sqrt{x} + \sqrt{y} +\sqrt{z}=\sqrt{a}}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest dowolną dodatnią stałą rzeczywistą, przecinają osie kartezjańskiego układu współpodrzędnych w punktach, których suma odległości od początku układu równa się \(\displaystyle{ a}\).
Zaczęłam od dłubania się ze wzoru \(\displaystyle{ \left\langle x - x_{0}, (gradf)(x_{0}) \right\rangle}\), wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{x-x_{0}}{2 \sqrt{x_{0}}} + \frac{y-y_{0}}{2 \sqrt{y_{0}}} + \frac{z-z_{0}}{2 \sqrt{z_{0}}} = 0}\), wiem też, że przecięcia to są punkty o najwyżej jednej niezerowej współrzędnej. I an tym moja wiedza i umiejętności się kończą. Kto pomoże, kto oświeci?
płaszczyzny styczne do danej wzorem powierzchni
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
płaszczyzny styczne do danej wzorem powierzchni
Mając równanie płaszczyzny wyliczasz współrzędne punktów (przyjmę że są to I, J, K) przecięcia z osiami współrzędnych.
Punkt I (na osi OX) :
Wiadomo że \(\displaystyle{ y=z=0}\) więc:
\(\displaystyle{ \frac{x-x_{0}}{2 \sqrt{x_{0}}} + \frac{0-y_{0}}{2 \sqrt{y_{0}}} + \frac{0-z_{0}}{2 \sqrt{z_{0}}} = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{x-x_{0}}{2 \sqrt{x_{0}}} = \frac{y_{0}}{2 \sqrt{y_{0}}} + \frac{z_{0}}{2 \sqrt{z_{0}}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{ \sqrt{x_{0}}}- \sqrt{x_{0}} = \sqrt{y_{0}} +\sqrt{z_{0}}}\)
\(\displaystyle{ x=\sqrt{x_{0}} \left( \sqrt{x_{0}} + \sqrt{y_{0}} +\sqrt{z_{0}}\right)}\)
\(\displaystyle{ I=\left( \sqrt{x_{0}} \left( \sqrt{x_{0}} + \sqrt{y_{0}} +\sqrt{z_{0}}\right) \ ,0, \ 0\right)=\left( \sqrt{x_{0}} \sqrt{a} \ ,0, \ 0\right)}\)
Analogicznie wyznaczam
\(\displaystyle{ J=\left( 0,\ \sqrt{y_{0}} \sqrt{a}, \ 0\right)}\)
\(\displaystyle{ K=\left( 0 , \ 0,\ \sqrt{z_{0}} \sqrt{a}\right)}\)
Suma ich odległości od początku ukladu:
\(\displaystyle{ s=\left| IO\right| +\left| JO\right| +\left| KO\right|=\sqrt{x_{0}} \sqrt{a}+\sqrt{y_{0}} \sqrt{a}+\sqrt{z_{0}} \sqrt{a} =\left( \sqrt{x_{0}} +\sqrt{y_{0}} +\sqrt{z_{0}}\right) \sqrt{a} =\\= \sqrt{a} \sqrt{a} =a}\)
Punkt I (na osi OX) :
Wiadomo że \(\displaystyle{ y=z=0}\) więc:
\(\displaystyle{ \frac{x-x_{0}}{2 \sqrt{x_{0}}} + \frac{0-y_{0}}{2 \sqrt{y_{0}}} + \frac{0-z_{0}}{2 \sqrt{z_{0}}} = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{x-x_{0}}{2 \sqrt{x_{0}}} = \frac{y_{0}}{2 \sqrt{y_{0}}} + \frac{z_{0}}{2 \sqrt{z_{0}}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{ \sqrt{x_{0}}}- \sqrt{x_{0}} = \sqrt{y_{0}} +\sqrt{z_{0}}}\)
\(\displaystyle{ x=\sqrt{x_{0}} \left( \sqrt{x_{0}} + \sqrt{y_{0}} +\sqrt{z_{0}}\right)}\)
\(\displaystyle{ I=\left( \sqrt{x_{0}} \left( \sqrt{x_{0}} + \sqrt{y_{0}} +\sqrt{z_{0}}\right) \ ,0, \ 0\right)=\left( \sqrt{x_{0}} \sqrt{a} \ ,0, \ 0\right)}\)
Analogicznie wyznaczam
\(\displaystyle{ J=\left( 0,\ \sqrt{y_{0}} \sqrt{a}, \ 0\right)}\)
\(\displaystyle{ K=\left( 0 , \ 0,\ \sqrt{z_{0}} \sqrt{a}\right)}\)
Suma ich odległości od początku ukladu:
\(\displaystyle{ s=\left| IO\right| +\left| JO\right| +\left| KO\right|=\sqrt{x_{0}} \sqrt{a}+\sqrt{y_{0}} \sqrt{a}+\sqrt{z_{0}} \sqrt{a} =\left( \sqrt{x_{0}} +\sqrt{y_{0}} +\sqrt{z_{0}}\right) \sqrt{a} =\\= \sqrt{a} \sqrt{a} =a}\)