iloczyn wektorowy - dowód

[TlustaTeta]

Witam,
Mam taki problem - gdyż udowodniłam, że istnieje dokładnie jeden wektor spełniający 3 warunki w definicji iloczynu wektorowego (1. iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ a \times b}\) jest prostopadły do wektorów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)
2. \(\displaystyle{ |c|= |a \times b| = |a||b| \sin}\) kąta między wektorami
3. Wektory mają orientację zgodną z orientacją układu współrzędnych)
ale nie potrafię wykazać jednej rzeczy.
Mianowicie : Niech \(\displaystyle{ d}\) będzie wektorem w bazie wektorów, a więc jest liniową kombinacją wektorów \(\displaystyle{ a,b,c.}\)
Pokażę, że \(\displaystyle{ d}\) prostopadłe do \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ d}\) prostopadłe do \(\displaystyle{ b}\).
Rozpisuję współrzędne \(\displaystyle{ a = [x_{1}, y_{1}, z_{1}], b = [x_{2}, y_{2}, z_{2}], c = [x_{3}, y_{3}, z_{3}], d = [x_{4}, y_{4}, z_{4}]}\)
Rozpisuję \(\displaystyle{ d \cdot a = 0, d \cdot b = 0}\). Dostaję układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}x_{4}+y_{1}y_{4}+z_{1}z_{4} = 0 \\ x_{2}x_{4}+y_{2}y_{4}+z_{2}z_{4} = 0 \end{cases}}\)
Mnożę pierwszą równość przez \(\displaystyle{ x_{2}}\), a drugą przez \(\displaystyle{ x_{1}}\). Odejmuję jedną równość od drugiej wyciągam \(\displaystyle{ y_{4}, z_{4}}\) przed nawias, dzielę i mam:
\(\displaystyle{ \frac{z_{4}}{x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}}= \frac{y_{4}}{z_{1}x_{2}-z_{2}x_{1}} = k}\)
Przyjmuję \(\displaystyle{ k = 1}\) (na podstawie war.3 definicji) i wychodzą mi współrzędne wektora takie jak współrzędne wektora iloczynu wektorowego \(\displaystyle{ c}\). Tylko problem - skąd mam wiedzieć, że jeden z mianowników \(\displaystyle{ \frac{z_{4}}{x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}}= \frac{y_{4}}{z_{1}x_{2}-z_{2}x_{1}}}\)
(lub wszystkie) nie jest zerowy ? Pewnie chodzi o proste założenie…ale nie mogę na nie wpaść Pomocy

[Premislav]

Zauważ, że mnożąc przez \(\displaystyle{ x_{1}}\) i przez \(\displaystyle{ x_{2}}\) tracisz na ogólności, bo jeszcze należy rozważyć przypadki \(\displaystyle{ x_{1}=0}\) oraz \(\displaystyle{ x_{2}=0}\). Podobnie dzielenie przez
\(\displaystyle{ x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}}\) oraz \(\displaystyle{ z_{1}x_{2}-z_{2}x_{1}}\) działa (jak zauważyłaś zresztą sama) tylko gdy to nie są zera. Więc te przejścia nie są równoważne, a wychodzisz niejako od tezy.

Ale dużo większym problemem jest to, że teza nie wygląda na prawdziwą. Rozważmy
\(\displaystyle{ a=d=[1,0,0], b=[0,1,0], c=[0,0,1]}\). Może popraw tezę? Bo to

Niech \(\displaystyle{ d}\) będzie wektorem w bazie wektorów, a więc jest liniową kombinacją wektorów \(\displaystyle{ a,b,c}\).
Pokażę, że \(\displaystyle{ d}\) prostopadłe do \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ d}\) prostopadłe do \(\displaystyle{ b}\).

mi się nie podoba (jak rozumiem, tutaj \(\displaystyle{ c=a\times b}\), ale tak też jest w podany przeze mnie kontrprzykładzie; poza tym co to znaczy "niech \(\displaystyle{ d}\) będzie wektorem w bazie wektorów" - w bazie wektorów, to znaczy w jakiej? To beztreściowe). Sprawdź, proszę, treść zadania.