Punkty na jednej płaszczyźnie

[Thuddy]

Witam, jak sprawdzić czy dane punkty leżą na jednej wspólnej plaszczyźnie?

A(3,3,2)
B(5,4,1)
C(2,1,4)
D(1,1,1)

Należy policzyć wektory AB, AC, oraz AD a następnie utworzyć z nich macierz i policzyć wyznacznik?

[macik1423]

Można sprawdzić czy objętość czworościanu jest równa \(\displaystyle{ 0}\).
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{6}|(\vec{AB} \circ (\vec{AC} \times \vec{AD})|}\)
lub też wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez dowolne trzy punkty a potem sprawdzić czy ten czwarty punkt spełnia równanie tej płaszczyzny.

[Thuddy]

Czy objętośc czworościanu wyjdzie \(\displaystyle{ 1 \frac{1}{6}}\) a więc punkty nie leżą na jednej prostej?

-- 1 lip 2015, o 12:00 --

Jeśli chodzi o drugą metodę to obliczyłem równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A,B i C

\(\displaystyle{ u= \vec{AB}
w= \vec{AC}

v=u \times w}\)
Następnie policzyłem macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x&y&z\\2&1&-1\\-1&-2&2\end{bmatrix}}\) Z której wyszło mi \(\displaystyle{ 0x -3y -3z=0}\)
Następnie napisałem równanie ogólne płaszczyzny, ktora przechodzi przez punkt A
\(\displaystyle{ 0(x-3) -3(y-3) - 3(z-2)=0}\)
Po wstawieniu współrzędnych punktu D nie wychodzi \(\displaystyle{ 0}\) więc punkty te nie leżą na jednej prostej? Dobrze to obliczyłem?