Obliczanie współrzędnych punktu znając współrzędne innych

[hubgrt]

Witam.
Na początku chciałbym przeprosić, ponieważ mój problem jest zapewne trywialny, ale niestety nie wiem od której strony go ugryźć.

Mając w przestrzeni punkty:
A = \(\displaystyle{ (37.499 ; 25.743 ; 14.571)}\)
B = \(\displaystyle{ (38.794 ; 25.761 ; 13.880)}\)
C = \(\displaystyle{ (38.728 ; 26.591 ; 12.661)}\)

mam znaleźć współrzędne punktu D wiedząc, że długość wektora \(\displaystyle{ {BD}}\) wynosi 1.5 .

wiadomo również, że kąty \(\displaystyle{ |ABC|}\), \(\displaystyle{ |ABD|}\), \(\displaystyle{ |CBD|}\) są równe 109,5 stopni, natomiast kąt między wektorem \(\displaystyle{ {BD}}\) a płaszczyzną utworzoną z punktów \(\displaystyle{ | ABC|}\) jest równy 120 stopni.

Zamieszczam również obrazek poglądowy jak to ma wyglądać (po lewej widok od boku, po prawej widok z góry). A - ciemnoniebieski, B - jasnoniebieski, C - różowy, hipotetyczny D - żółty.


Byłbym bardzo wdzięczny gdyby, ktoś mi wytłumaczył, najlepiej krok po kroku, jak to rozwiązać.
Pozdrawiam

[SlotaWoj]

Twoje dane nie są zbyt dokładne. \(\displaystyle{ \angle ABC\neq109,5^\circ}\) i wynosi \(\displaystyle{ 110,865^\circ}\).

Sposób rozwiązania jest następujący:

Wektory definiujące płaszczyznę \(\displaystyle{ \Pi_{ABC}}\):

• \(\displaystyle{ \overrightarrow{BA}=A-B=[x_A-x_B;y_A-y_B;z_A-z_B]=[x_{BA};y_{BA};z_{BA}]}\)

• \(\displaystyle{ \overrightarrow{BC}=C-B=[x_C-x_B;y_C-y_B;z_C-z_B]=[x_{BC};y_{BC};z_{BC}]}\)

Równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ \Pi_{ABC}}\):

• \(\displaystyle{ a_{ABC}x+b_{ABC}y+c_{ABC}z+d_{ABC}=0}\)

gdzie:

• \(\displaystyle{ a_{ABC}=\begin{vmatrix}y_{BA}&z_{BA}\\y_{BC}&z_{BC}\end{vmatrix} \quad b_{ABC}=\begin{vmatrix}z_{BA}&x_{BA}\\z_{BC}&x_{BC}\end{vmatrix} \quad c_{ABC}=\begin{vmatrix}x_{BA}&y_{BA}\\x_{BC}&y_{BC}\end{vmatrix}}\)

• \(\displaystyle{ d_{ABC}=-a_{ABC}x_B-b_{ABC}y_B-c_{ABC}z_B}\)

Wektor \(\displaystyle{ [a_{ABC};b_{ABC};c_{ABC}] \perp \Pi_{ABC}}\)

Wyznaczamy punkt \(\displaystyle{ F=B+[a_{ABC};b_{ABC};c_{ABC}]}\) (koniec wektora \(\displaystyle{ \overrightarrow{BF}}\)).

W podobny sposób wyznaczamy równania płaszczyzn \(\displaystyle{ \Pi_{ABF}}\) (\(\displaystyle{ \perp\Pi_{ABC}}\)i zawierająca \(\displaystyle{ \overrightarrow{BA}}\)) oraz \(\displaystyle{ \Pi_{CBF}}\) (\(\displaystyle{ \perp\Pi_{ABC}}\)i zawierająca \(\displaystyle{ \overrightarrow{BC}}\)); otrzymujemy ich współczynniki \(\displaystyle{ a_{ABF}}\), \(\displaystyle{ b_{ABF}\)}, \(\displaystyle{ c_{ABF}}\) i \(\displaystyle{ d_{CBF}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{CBF}}\), \(\displaystyle{ b_{CBF}}\), \(\displaystyle{ c_{CBF}}\) i \(\displaystyle{ d_{CBF}}\)

Ponieważ podałeś, że \(\displaystyle{ \angle ABD = \angle CBD}\), więc trzeba wyznaczyć równanie płaszczyzny dwusiecznej do płaszczyzn \(\displaystyle{ \Pi_{ABF}}\) i \(\displaystyle{ \Pi_{CBF}}\), które jest następujące:

• \(\displaystyle{ \frac{a_{ABF}x+b_{ABF}y+z_{ABF}+d_{ABF}}{\sqrt{a_{ABF}^2+b_{ABF}^2+c_{ABF}^2}}={\red{\pm}}\frac{a_{CBF}x+b_{CBF}y+z_{CBF}+d_{CBF}}{\sqrt{a_{CBF}^2+b_{CBF}^2+c_{CBF}^2}}}\)

Znak \(\displaystyle{ \pm}\) trzeba określić tak, aby płaszczyzna dwusieczna rozdzielała punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\).

Oznaczmy tę płaszczyznę jako \(\displaystyle{ \Pi_{EBF}}\) gdzie \(\displaystyle{ E}\) jest punktem należącym do prostej \(\displaystyle{ AC}\), trzeba wyznaczyć współrzędne tego punktu oraz współrzędne wektora \(\displaystyle{ \overrightarrow{BE}}\).

Wektor \(\displaystyle{ \overrightarrow{BF}}\) trzeba przeskalować, aby jego długość była równa \(\displaystyle{ 1,5\cdot\cos30^\circ}\), będziemy mieli wektor \(\displaystyle{ \overrightarrow{BG}}\).

Ponieważ podałeś, że kąty \(\displaystyle{ \angle ABD}\) i \(\displaystyle{ \angle CBD}\) są rozwarte, więc wektor przeciwny do \(\displaystyle{ \overrightarrow{BE}}\), czyli \(\displaystyle{ {\red{-}}\overrightarrow{BE}}\) trzeba przeskalować, aby jego długość była równa \(\displaystyle{ 1,5\cdot\cos60^\circ}\), będziemy mieli wektor \(\displaystyle{ \overrightarrow{BH}}\).

Wektor \(\displaystyle{ \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{BH}}\), a \(\displaystyle{ D=B+\overrightarrow{BD}}\).

Równanie płaszczyzny dwusiecznej oraz sposób wyznaczania współrzędnej punktu \(\displaystyle{ E}\) trzeba przekształcić tak, aby wszystkie obliczenia można było zrobić w Excelu przy pomocy formuł i funkcji wbudowanych.

[hubgrt]

Przyznaję, że dane mogą być niedokładne, ponieważ pochodzą one ze struktur krystalograficznych aminokwasów, a drgające atomy powodują odchylenia od idealnych wartości kątów między wiązaniami i długościami wiązań: ) Chciałem tylko zapewnić pewien punkt odniesienia : )

Niemniej jednak, Pańskie rozpisanie problemu bardzo mi pomogło zrozumieć oraz rozwiązać problem, na który się natknąłem, za co serdecznie dziękuję i pozdrawiam : )

[SlotaWoj]

Wychodzi:

• \(\displaystyle{ D=(39,053;24,356;13,424)}\)
  \(\displaystyle{ \angle ABD=\angle CBD=106,481^\circ}\)

Warto podczas obliczeń sprawdzać, czy te wektory lub płaszczyzny, które mają być prostopadłe rzeczywiście takie są.