Dzień dobry, a właściwie dobry wieczór.
Mam problem z jednym zadaniem, które prawdopodobnie będzie na sprawdzianie, a raczej podobne do niego. W ogóle nie wiem jak je zrobic, jak robiliśmy ten temat niestety byłam chora, i byłabym wdzięczna za wyjaśnienie jak to zrobic albo krok po kroku. Mam wiele zadań do zrobienia, i większośc z nich udało mi się zrobic z pomocą lub bez, ale to sprawia mi wyjątkowe problemy. Otrzymałam już jakieś porady, ale niestety nie dają mi za wiele, ponieważ niestety ten temat to nie jest moja mocna strona.
Oto zadanie:
Dla jakich wartości parametru a i b prosta y=ax+b przechodząca przez punkt (0,−2) ma co najmniej jeden punkt wspólny z okręgiem \(\displaystyle{ x^2+y^2+6x+5=0?}\)
Prosta i punkt styczny z okręgiem
-
- Użytkownik
- Posty: 219
- Rejestracja: 5 maja 2010, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 75 razy
Prosta i punkt styczny z okręgiem
1. Przekształć równanie okręgu, by wyznaczyć środek i długość promienia:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+6x+5=0 \Leftrightarrow x^2+6x+9+y^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow (x+3)^{2} + y^2 = 4}\)
Zatem środek okręgu ma współrzędne...? Długość promienia?
2. Wyznacz współczynnik \(\displaystyle{ b}\), korzystając z informacji o tym, w którym punkcie prosta ma przecinać oś \(\displaystyle{ OY}\).
Skoro ma przecinać tę oś w punkcie \(\displaystyle{ (0, -2)}\), funkcja \(\displaystyle{ y = ax + b}\) powinna dla \(\displaystyle{ x=0}\) przyjmować wartość \(\displaystyle{ -2}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ -2 = a \cdot 0 + b \Leftrightarrow b = -2}\).
3. Narysuj sytuację z zadania. Dzięki temu powinnaś już oszacować szukany parametr \(\displaystyle{ a}\). Jego dokładną wartość możesz wyliczyć korzystając np. ze wzoru na odległość punktu od prostej.
\(\displaystyle{ x^2+y^2+6x+5=0 \Leftrightarrow x^2+6x+9+y^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow (x+3)^{2} + y^2 = 4}\)
Zatem środek okręgu ma współrzędne...? Długość promienia?
2. Wyznacz współczynnik \(\displaystyle{ b}\), korzystając z informacji o tym, w którym punkcie prosta ma przecinać oś \(\displaystyle{ OY}\).
Skoro ma przecinać tę oś w punkcie \(\displaystyle{ (0, -2)}\), funkcja \(\displaystyle{ y = ax + b}\) powinna dla \(\displaystyle{ x=0}\) przyjmować wartość \(\displaystyle{ -2}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ -2 = a \cdot 0 + b \Leftrightarrow b = -2}\).
3. Narysuj sytuację z zadania. Dzięki temu powinnaś już oszacować szukany parametr \(\displaystyle{ a}\). Jego dokładną wartość możesz wyliczyć korzystając np. ze wzoru na odległość punktu od prostej.
-
- Użytkownik
- Posty: 1674
- Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: lubelskie
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 354 razy
Prosta i punkt styczny z okręgiem
W rozwiązaniu układu równań, w którym drugie równanie przedstawia prostą przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ (0, -2)}\), delta (po podstawieniu drugiego równania do pierwszego) musi być większa lub równa zero (żeby było co najmniej jedno rozwiązanie):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2+6x+5=0 \\ y=ax-2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2+6x+5=0 \\ y=ax-2 \end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 15 cze 2015, o 20:03
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Prosta i punkt styczny z okręgiem
Dziękuję wam bardzo za pomoc Z tym udało już się wyliczyc.
(Środek \(\displaystyle{ (-3,0)}\) i promień \(\displaystyle{ 2}\), zgadza się?)
Właśnie mniej więcej taką podpowiedź dostałam, ale nie byłam dokładnie pewna co zrobic wtedy z parametrem a. Ale patrząc na pierwszy sposób już udało się wszystko razem ogarnąc Dzięki.
(Środek \(\displaystyle{ (-3,0)}\) i promień \(\displaystyle{ 2}\), zgadza się?)
Właśnie mniej więcej taką podpowiedź dostałam, ale nie byłam dokładnie pewna co zrobic wtedy z parametrem a. Ale patrząc na pierwszy sposób już udało się wszystko razem ogarnąc Dzięki.
Ostatnio zmieniony 15 cze 2015, o 21:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
- Użytkownik
- Posty: 1674
- Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: lubelskie
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 354 razy
Prosta i punkt styczny z okręgiem
Zgadza się, chociaż przy tym sposobie, który zaproponowałem, wyliczanie tego nie jest konieczne.Hikarin pisze: Środek (-3,0) i promień 2, zgadza się?
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Prosta i punkt styczny z okręgiem
Dodatkowym utrudnieniem był fakt, że redakcja tematu zadania sugeruje, jakoby współczynniki \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) były niezależne, podczas gdy \(\displaystyle{ b}\) jest zadane „z góry” i tylko od \(\displaystyle{ a}\) zależy, czy prosta \(\displaystyle{ y=ax+b}\) przecina okrąg, czy też nie. Wskazówka Szachimata to uwzględnia.