Prosta i punkt styczny z okręgiem

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Hikarin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 15 cze 2015, o 20:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Prosta i punkt styczny z okręgiem

Post autor: Hikarin »

Dzień dobry, a właściwie dobry wieczór.
Mam problem z jednym zadaniem, które prawdopodobnie będzie na sprawdzianie, a raczej podobne do niego. W ogóle nie wiem jak je zrobic, jak robiliśmy ten temat niestety byłam chora, i byłabym wdzięczna za wyjaśnienie jak to zrobic albo krok po kroku. Mam wiele zadań do zrobienia, i większośc z nich udało mi się zrobic z pomocą lub bez, ale to sprawia mi wyjątkowe problemy. Otrzymałam już jakieś porady, ale niestety nie dają mi za wiele, ponieważ niestety ten temat to nie jest moja mocna strona.
Oto zadanie:
Dla jakich wartości parametru a i b prosta y=ax+b przechodząca przez punkt (0,−2) ma co najmniej jeden punkt wspólny z okręgiem \(\displaystyle{ x^2+y^2+6x+5=0?}\)
lukequaint
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 219
Rejestracja: 5 maja 2010, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 75 razy

Prosta i punkt styczny z okręgiem

Post autor: lukequaint »

1. Przekształć równanie okręgu, by wyznaczyć środek i długość promienia:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+6x+5=0 \Leftrightarrow x^2+6x+9+y^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow (x+3)^{2} + y^2 = 4}\)

Zatem środek okręgu ma współrzędne...? Długość promienia?

2. Wyznacz współczynnik \(\displaystyle{ b}\), korzystając z informacji o tym, w którym punkcie prosta ma przecinać oś \(\displaystyle{ OY}\).

Skoro ma przecinać tę oś w punkcie \(\displaystyle{ (0, -2)}\), funkcja \(\displaystyle{ y = ax + b}\) powinna dla \(\displaystyle{ x=0}\) przyjmować wartość \(\displaystyle{ -2}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ -2 = a \cdot 0 + b \Leftrightarrow b = -2}\).

3. Narysuj sytuację z zadania. Dzięki temu powinnaś już oszacować szukany parametr \(\displaystyle{ a}\). Jego dokładną wartość możesz wyliczyć korzystając np. ze wzoru na odległość punktu od prostej.
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Prosta i punkt styczny z okręgiem

Post autor: szachimat »

W rozwiązaniu układu równań, w którym drugie równanie przedstawia prostą przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ (0, -2)}\), delta (po podstawieniu drugiego równania do pierwszego) musi być większa lub równa zero (żeby było co najmniej jedno rozwiązanie):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2+6x+5=0 \\ y=ax-2 \end{cases}}\)
Hikarin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 15 cze 2015, o 20:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Prosta i punkt styczny z okręgiem

Post autor: Hikarin »

Dziękuję wam bardzo za pomoc Z tym udało już się wyliczyc.

(Środek \(\displaystyle{ (-3,0)}\) i promień \(\displaystyle{ 2}\), zgadza się?)

Właśnie mniej więcej taką podpowiedź dostałam, ale nie byłam dokładnie pewna co zrobic wtedy z parametrem a. Ale patrząc na pierwszy sposób już udało się wszystko razem ogarnąc Dzięki.
Ostatnio zmieniony 15 cze 2015, o 21:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Prosta i punkt styczny z okręgiem

Post autor: szachimat »

Hikarin pisze: Środek (-3,0) i promień 2, zgadza się?
Zgadza się, chociaż przy tym sposobie, który zaproponowałem, wyliczanie tego nie jest konieczne.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Prosta i punkt styczny z okręgiem

Post autor: SlotaWoj »

Dodatkowym utrudnieniem był fakt, że redakcja tematu zadania sugeruje, jakoby współczynniki \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) były niezależne, podczas gdy \(\displaystyle{ b}\) jest zadane „z góry” i tylko od \(\displaystyle{ a}\) zależy, czy prosta \(\displaystyle{ y=ax+b}\) przecina okrąg, czy też nie. Wskazówka Szachimata to uwzględnia.
ODPOWIEDZ