Równanie płaszczyzne do powierzchni i stycznej

[zamir4]

Witam serdecznie,
moje zadanie to Podaj rownanie plaszczyzny rownoleglej do \(\displaystyle{ x-y+2z=0}\) i stycznej do powierzchni \(\displaystyle{ x^{2} + 2y^{2} + z^{2}=1}\)

Bardzo proszę o jakąś wskazówkę, bo ruszyć zadania nie umiem. Jedyne co potrafię, to wyznaczyć to pochodne częściowe, ale to podstawa podstaw :/.

Z góry dziękuję za jakąkolwiek wskazówkę/poradę

[kerajs]

Wskazówki:
1. Wektor normalny płaszczyzny równoległej jest równoległy do wektora normalnego płaszczyzny danej.
2. Wektor normalny płaszczyzny stycznej jest równy gradientowi z funkcji w punkcie styczności.

Ukryta treść:    

Co sprowadza się do równania:
\(\displaystyle{ \left[ 2x_0, 4y_0, 2z_0\right] =\alpha \left[ 1,-1,2\right]}\)
Potrafisz dalej?

II wersja rozwiązania (??)
Układ :
\(\displaystyle{ x-y+2z+D=0\wedge x^{2} + 2y^{2} + z^{2}=1}\)
musi mieć tylko jedno rozwiązanie.

[zamir4]

Tak, serdeczne dzięki.

Teraz mam tylko jeszcze jedno pytanie, mam znaleźć i narysować zbiór punktów P takich, że styczna powierzchni do powierzchni \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=2}\) przez punkt \(\displaystyle{ P (0,0,2)}\)

Jeszcze raz serdeczne dziękuję, czy móglbym prosić raz jeszcze o jakąś wskazówkę do tego zadania?

[kerajs]

Mam nadzieje ze znalazłeś oba rozwiązania do pierwszego zadania.

Przypuszczam że treść w drugim zadaniu jest taka:

Znajdź i narysuj zbiór punktów P należących do sfery \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=2}\) i takich, że płaszczyzna styczna do sfery w punkcie P zawiera punkt \(\displaystyle{ (0,0,2)}\)

Jest to okrąg będący częścią wspólną sfery i płaszczyzny \(\displaystyle{ z=1}\). Zbiór ten można znaleźć na wiele sposobów.. Sugeruję zacząć od łatwiejszej wersji na układzie XOZ

Znajdź punktóy P należące do okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+z^{2}=2}\) i takich, że prosta styczna do okręgu w punkcie P przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (0,2)}\)