krzywa typu parabolicznego

[blazy11]

Witam

Mam problem z dwoma zadaniami:

1. Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ \lambda}\) krzywa \(\displaystyle{ 2x^{2} - 3xy + y^{2} - 7x + \lambda y + 4 =0 }}\) odcina na osi Oy odcinek równy 3, a dla jakiej wartości \(\displaystyle{ \lambda}\) jest styczna do tej osi ?

2. Napisać równanie krzywej typu parabolicznego przechodzącej przez punkty (0,15), (3,0), (5,0), (2,3)

[lukasz1804]

1. Wystarczy zauważyć, że krzywa ma przechodzić przez punkty \(\displaystyle{ (0,y), (0,y+3)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ y\in\RR}\). Mamy układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} y^2+\lambda y+4=0 \\ (y+3)^2+\lambda (y+3)+4=0\end{cases}}\).
Łatwo wyznaczyć \(\displaystyle{ \lambda}\) w zależności od \(\displaystyle{ y}\):
\(\displaystyle{ 6y+9+3\lambda =0\iff \lambda=-2y-3}\)
Dalej mamy
\(\displaystyle{ y^2-2y^2-3y+4=0\iff y^2+3y-4=0\iff y=-3\vee y=1}\)
Stąd \(\displaystyle{ \lambda=-5\vee \lambda=3}\).

Jeśli chodzi o styczność , wystarczy zbadać, kiedy równanie \(\displaystyle{ y^2+\lambda y+4=0}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie.