Mógłby ktoś powiedzieć jak się wyprowadza równanie parametryczne asteroidy :
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x^2}+ \sqrt[3]{y^2}= \sqrt[3]{a^2}}\)
Równanie parametryczne
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Równanie parametryczne
Asteroida to krzywa opisująca ruch punktu okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r}\) toczącego się wewnątrz okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 4r}\).
Tor tego punktu jest złożeniem dwóch ruchów: (1) obrotu środka małego okręgu po okręgu o promieniu 3r przeciwnie do wskazówek zegara oraz (2) obrotu małego okręgu wokół własnego środka zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Łatwo zauważyć że obrotowi środka okręgu o pewien kąt odpowiada obrót małego okręgu o kąt trzy razy większy.
Opis pierwszego (1) ruchu w postaci biegunowej to:
\(\displaystyle{ x _{1} =3r\cos \alpha \ \ \wedge \ \ y _{2} =3r\sin \alpha}\)
a drugiego (2):
\(\displaystyle{ x _{2} =r\cos (-3\alpha ) \ \ \wedge \ \ y _{2} =r\sin (-3 \alpha )}\)
Ich złożenie daje opis toru po jakim porusza się wybrany punkt małego okręgu:
\(\displaystyle{ x=x _{1}+x _{2} \ \ \wedge \ \ y=y_{1}+y _{2}}\)
\(\displaystyle{ x =3r\cos \alpha + r \cos 3 \alpha \ \ \wedge \ \ y =3r\sin \alpha-r\sin 3 \alpha \\
x=4r\cos ^3 \alpha \ \ \wedge \ \ y=4r\sin ^3 \alpha}\)
Ostatni układ jest równaniem parametrycznym asteroidy.
Wyliczając z niego obie funkcje trygonometryczne
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \sqrt[3]{ \frac{x}{4r} } \ \ \wedge \ \ \sin\alpha = \sqrt[3]{ \frac{y}{4r} }}\)
i wstawiając je do jedynki trygonometrycznej uzyskuje się postać:
\(\displaystyle{ \left( \sqrt[3]{ \frac{x}{4r} }\right) ^2+\left( \sqrt[3]{ \frac{y}{4r} }\right) ^2=1 \\ \sqrt[3]{x^2}+ \sqrt[3]{y^2}= \sqrt[3]{(4r)^2}}\)
która przy \(\displaystyle{ a=4r}\) daje Twoje równanie asteroidy.
Stąd też postać parametryczna zawierająca parametr \(\displaystyle{ a}\) :
\(\displaystyle{ x=a\cos ^3 \alpha \ \ \wedge \ \ y=a\sin ^3 \alpha}\)
obrazek:
Opis pierwszego (1) ruchu w postaci biegunowej to:
\(\displaystyle{ x _{1} =3r\cos \alpha \ \ \wedge \ \ y _{2} =3r\sin \alpha}\)
a drugiego (2):
\(\displaystyle{ x _{2} =r\cos (-3\alpha ) \ \ \wedge \ \ y _{2} =r\sin (-3 \alpha )}\)
Ich złożenie daje opis toru po jakim porusza się wybrany punkt małego okręgu:
\(\displaystyle{ x=x _{1}+x _{2} \ \ \wedge \ \ y=y_{1}+y _{2}}\)
\(\displaystyle{ x =3r\cos \alpha + r \cos 3 \alpha \ \ \wedge \ \ y =3r\sin \alpha-r\sin 3 \alpha \\
x=4r\cos ^3 \alpha \ \ \wedge \ \ y=4r\sin ^3 \alpha}\)
Ostatni układ jest równaniem parametrycznym asteroidy.
Wyliczając z niego obie funkcje trygonometryczne
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \sqrt[3]{ \frac{x}{4r} } \ \ \wedge \ \ \sin\alpha = \sqrt[3]{ \frac{y}{4r} }}\)
i wstawiając je do jedynki trygonometrycznej uzyskuje się postać:
\(\displaystyle{ \left( \sqrt[3]{ \frac{x}{4r} }\right) ^2+\left( \sqrt[3]{ \frac{y}{4r} }\right) ^2=1 \\ \sqrt[3]{x^2}+ \sqrt[3]{y^2}= \sqrt[3]{(4r)^2}}\)
która przy \(\displaystyle{ a=4r}\) daje Twoje równanie asteroidy.
Stąd też postać parametryczna zawierająca parametr \(\displaystyle{ a}\) :
\(\displaystyle{ x=a\cos ^3 \alpha \ \ \wedge \ \ y=a\sin ^3 \alpha}\)