Mając dane równanie parametryczne:
\(\displaystyle{ x=b \ctg \phi}\)
\(\displaystyle{ y=a \sin 2\phi}\)
zamienić je na równanie w postaci biegunowej
Równianie prostej
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Równianie prostej
Mnożąc i dzieląc te równania dostaję:
\(\displaystyle{ xy=2ab\cos ^2 \phi \ \wedge \ \frac{y}{x}= \frac{2b}{a}\sin ^2 \phi}\)
wstawiając to do jedynki trygonometrycznej mam:
\(\displaystyle{ \frac{xy}{2ab}+ \frac{ay}{2bx}=1 \\ x^2y+a^2y=2abx \\ y= 2ab\frac{x}{x^2+a^2}}\)
Trochę jest krzywa ta Twoja ,,prosta'
Wstawiając współrzędne biegunowe otrzymuję równanie
\(\displaystyle{ r^2=ab \frac{\ctg \alpha -a^2}{\cos ^2 \alpha } \vee r=0}\)
\(\displaystyle{ r=sgn \left( ab\right) \sqrt{ ab \frac{\ctg \alpha -a^2}{\cos ^2 \alpha } }\wee r=0}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0; sgn(ab)\arcctg a^2 \right\rangle \cup \left( \pi ; \pi + sgn(ab)\arcctg a^2 \right\rangle}\)
\(\displaystyle{ xy=2ab\cos ^2 \phi \ \wedge \ \frac{y}{x}= \frac{2b}{a}\sin ^2 \phi}\)
wstawiając to do jedynki trygonometrycznej mam:
\(\displaystyle{ \frac{xy}{2ab}+ \frac{ay}{2bx}=1 \\ x^2y+a^2y=2abx \\ y= 2ab\frac{x}{x^2+a^2}}\)
Trochę jest krzywa ta Twoja ,,prosta'
Wstawiając współrzędne biegunowe otrzymuję równanie
\(\displaystyle{ r^2=ab \frac{\ctg \alpha -a^2}{\cos ^2 \alpha } \vee r=0}\)
\(\displaystyle{ r=sgn \left( ab\right) \sqrt{ ab \frac{\ctg \alpha -a^2}{\cos ^2 \alpha } }\wee r=0}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0; sgn(ab)\arcctg a^2 \right\rangle \cup \left( \pi ; \pi + sgn(ab)\arcctg a^2 \right\rangle}\)
-
17inferno
Równianie prostej
Dziękuję bardzo, oczywiście że chodziło o krzywą
-- 15 maja 2015, o 16:15 --
jeszcze mam pytanko, a co stało się z \(\displaystyle{ 2}\)? może nie do tego równania podstawiam te współrzędne biegunowe
mam na myśli ten fragment Twojej wypowiedzi:
\(\displaystyle{ r^2=ab \frac{\ctg \alpha -a^2}{\cos ^2 \alpha } \vee r=0}\)
-- 15 maja 2015, o 16:15 --
jeszcze mam pytanko, a co stało się z \(\displaystyle{ 2}\)? może nie do tego równania podstawiam te współrzędne biegunowe
mam na myśli ten fragment Twojej wypowiedzi:
\(\displaystyle{ r^2=ab \frac{\ctg \alpha -a^2}{\cos ^2 \alpha } \vee r=0}\)
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Równianie prostej
Sorry, post pisałem w pośpiechu i stąd liczne błędy.
\(\displaystyle{ r^2= \frac{2ab\ctg \alpha -a^2}{\cos ^2 \alpha }}\)
\(\displaystyle{ r= \sqrt{ 2ab\frac{ \ctg \alpha - \frac{a}{2b} }{\cos ^2 \alpha } }}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in \left\langle 0; \arcctg \frac{a}{2b} \right\rangle \cup \left\langle \pi ; \pi + sgn(ab)\arcctg \frac{a}{2b} \right\rangle}\) przy \(\displaystyle{ ab>0}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in \left\langle \pi - \arcctg \frac{a}{2b}; \pi \right\rangle \cup \left\langle 2\pi - \arcctg \frac{a}{2b} ;2 \pi \right\rangle}\) przy \(\displaystyle{ ab<0}\)
Mam nadzieję że tym razem ma to sens, ale mimo to sprawdź, proszę, te obliczenia .
\(\displaystyle{ r \sin \alpha =2ab \frac{r \cos \alpha}{r^2 \cos ^2 \alpha+a^2}\\ r=0 \vee \sin \alpha =2ab \frac{ \cos \alpha}{r^2 \cos ^2 \alpha+a^2} \\ r^2 \cos ^2 \alpha +a^2=2ab\ctg \alpha \vee r=0}\)\(\displaystyle{ y= 2ab\frac{x}{x^2+a^2}}\)
Wstawiając współrzędne biegunowe otrzymuję równanie :
\(\displaystyle{ r^2= \frac{2ab\ctg \alpha -a^2}{\cos ^2 \alpha }}\)
\(\displaystyle{ r= \sqrt{ 2ab\frac{ \ctg \alpha - \frac{a}{2b} }{\cos ^2 \alpha } }}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in \left\langle 0; \arcctg \frac{a}{2b} \right\rangle \cup \left\langle \pi ; \pi + sgn(ab)\arcctg \frac{a}{2b} \right\rangle}\) przy \(\displaystyle{ ab>0}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in \left\langle \pi - \arcctg \frac{a}{2b}; \pi \right\rangle \cup \left\langle 2\pi - \arcctg \frac{a}{2b} ;2 \pi \right\rangle}\) przy \(\displaystyle{ ab<0}\)
Mam nadzieję że tym razem ma to sens, ale mimo to sprawdź, proszę, te obliczenia .