Znajdź równanie hiperboli

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
buuu1200
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 4 sty 2015, o 13:06
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Słupsk

Znajdź równanie hiperboli

Post autor: buuu1200 »

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania. Znajdź równanie hiperboli przechodzącej przez ogniska elipsy \(\displaystyle{ \frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{144} = 1}\) mającej ogniska w wierzchołkach elipsy.
Ostatnio zmieniony 13 maja 2015, o 12:28 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Znajdź równanie hiperboli

Post autor: Dilectus »

1. Znajdź ogniska elipsy

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{144} = 1}\)

Jak wiadomo, ogniska elipsy to są punkty na osi wielkiej odległe od jej środka o

\(\displaystyle{ c_e = \sqrt{a_e^2-b_e^2}}\)

U nas będą to punkty

\(\displaystyle{ F_1= \left( -5, \ 0\right), \ F_2= \left( 5, \ 0 \right)}\)

Masz napisać równanie hiperboli, które spełniają punkty \(\displaystyle{ F_1}\) i \(\displaystyle{ F_2}\)

No to zrób tak:

Równanie hiperboli

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a_h^2}- \frac{y^2}{b_h^2}=1}\)

spełniają punkty

\(\displaystyle{ F_1= \left( -5, \ 0\right), \ F_2= \left( 5, \ 0 \right)}\)

A więc

\(\displaystyle{ \frac{25}{a_h^2}- \frac{0}{b_h^2}=1 \ \Rightarrow \ a_h=5}\)

Współczynnik \(\displaystyle{ b_h}\) znajdziemy, wiedząc, że ogniska hiperboli znajdują się w wierzchołkach elipsy.

Ogniska hiperboli to punkty o współrzędnych \(\displaystyle{ (-c_h,0)}\) i \(\displaystyle{ (c_h,0)}\), gdzie \(\displaystyle{ c_h= \sqrt{a_h^2+b_h^2}}\)

a wierzchołki elipsy to punkty na osi wielkiej o współrzędnych \(\displaystyle{ \left( -a_e, 0\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( a_e, \ 0\right)}\). U nas \(\displaystyle{ a_e=13}\) (półoś wielka elipsy).
Możemy więc napisać:

\(\displaystyle{ c_h=13= \sqrt{a_h^2+b_h^2}= \sqrt{25+b_h^2} \ \Rightarrow \ b_h= \sqrt{169-25}=12}\)

Szukana hiperbola ma więc równanie

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{25}- \frac{y^2}{144}=1}\)

ODPOWIEDZ