Prosta i okrąg.

[mich12]

Prosta \(\displaystyle{ 2x-y-5= 0}\) przecina okrąg o środku \(\displaystyle{ S\left( 2;4\right)}\) w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Długość cięciwy \(\displaystyle{ AB}\) wynosi \(\displaystyle{ 4 \sqrt{5}}\). Wyznacz równanie tego okręgu.

Wyznaczyłem środek cięciwy \(\displaystyle{ AB}\), tj. \(\displaystyle{ C\left( 4;3\right)}\) Co dalej ? ;/

[macik1423]

Może tak: z twierdzenia Pitagorasa można policzyć promień, punkt \(\displaystyle{ A (a, 2a-5)}\).

[szachimat]

Połącz w układ równań
- równanie okręgu o środku \(\displaystyle{ C\left( 4;3\right)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 2 \sqrt{5}}\)
- równanie prostej 2x-y-5= 0
Rozwiązaniem będą wsp. A i B

[Dilectus]

Albo tak:

1. Poprowadź przez punkt S prostą prostopadłą do prostej zawierającej cięciwę.

2. Znajdź współrzędne punktów \(\displaystyle{ A \ \text{i} \ B}\) np. sposobem podanym przez szachimata.

3. Znajdź równanie prostej \(\displaystyle{ AS}\) (lub \(\displaystyle{ BS}\)) i długość odcinka \(\displaystyle{ AS}\) (lub \(\displaystyle{ BS}\)) Długość tego odcinka będzie promieniem szukanego okręgu.

4. Masz środek S, i promień r szukanego okręgu, więc napisz jego równanie.

[szachimat]

Dilectus, a do czego nam równanie prostej \(\displaystyle{ AS}\) (lub \(\displaystyle{ BS}\)) ?

[Dilectus]

Żeby znaleźć promień okręgu \(\displaystyle{ r=\left| AS\right|=\left| BS\right|}\). Ale rzeczywiście, można prościej:

\(\displaystyle{ r= \sqrt{\left( A_x-S_x\right)^2+\left( A_y-S_y\right)^2 }=\sqrt{\left( B_x-S_x\right)^2+\left( B_y-S_y\right)^2 }}\)